Pythagoras (Akadeemia)

"Maailma neliteist sfääri, nagu neid on kujutanud Giovanni Camillo Maffei Solofrast oma raamatus Scala Naturale (Venezia, 1564)." (Ingold 2008: 1794)

Pythagorase eestikeelne Vikipeediaartikkel kiratseb. Aga kuhu pöörduda, et sinna midagi lisada? Minu arvates tuleks esimese asjana pöörduda Akadeemia ajakirja poole. Lollikindel - kättesaadav ja lihtne viidata. 2020. aasta hilissuvel mõtlesin silmaringi laiendamiseks hakata seda ajakirja otsast pihta lugema. Esimesest köitest sain jagu ja siis ei jagunud koolitöö kõrvalt enam mahti. Sellegipoolest sai tollal enamik Akadeemia köiteid alla laetud. Enamik, sest ajakirja kodulehel asuvas arhiivis on palju surnud linke, 1997-2004 on sealtkaudu kättesaamatud. Nüüd leidsin, et Digari kaudu on siiski peaaegu kõigile köidetele ligipääs. Ainsad köited, mida tõesti alla ei saa laadida, proovi kuidas tahad, on 2012. aastakäigu 5. ja 12. numbrid.

Lühidalt on käesoleva postituse eesmärk kraapida kokku kõik, ükstapuha kui vähetähtsad, märkused Pythagorase kohta Akadeemia ajakirjas. Mõistagi ei hakka ma kõiki siia kuhjunud artikleid, mis annavad kokku 894 lehekülge, kohe läbi lugema. Piisab kui olulised kohad välja tuua, et siis ühel ilusal päeval kui peaksin Pythagorase Vikipeediaartiklit hakkama täiendama, oleks lihtne valida, milliseid tsitaate kust võtta. Samamoodi tuleks läbi vaadata ajakirjad Keel ja Kirjandus ning Vikerkaar, pärast mida võiks üle kaeda kõik ülejäänud suvalised allikad, millele Digar annab ligipääsu (Horisont, Looming, Oma Hobu, jne). Olge ka hoiatatud, et Digar ei võimalda kõiki üllitisi veebis sirvida - kus on märgitud "pdf", laeb link terve köite alla.

---

Markus, Eduard 1989. Kultuuri lained ja tsüklid: Ajaloolisest geograafiast. Tõlkinud Viktor Masing. Akadeemia 8: 1646-1659. [Digar, pdf]

Enamik vanemaid kultuure on teatavasti tekkinud kuivvööndi jõeorgudes: Mesopotaamias ja Egiptuses, Induse [|] orus, Huanghe ja Weihe jõgikonnas Hiinas, kus niisutustööd võimaldasid inimasutuse tsivilisatsiooni progressi. 7. sajandil eKr elas kogu tsiviliseeritud maailm läbi sügava poliitilise ja vaimse kriisi. Vahemikus 700-600 eKr täheldati, et vanad riigid jõeoaasides nõrgenesid. Babüloni hävitamine 689. a, Hiina jagunemine 655. a ning Assüüria riigi kokkuvarisemine 7. sajandi teisel poolel on eelkõige poliitilise kriisi tunnused, sellal kui Egiptuses olid võimetud valitsejad, nii et ta 671. a muudeti üheks Assüüria provintsiks. Suured prohvetid Jesaja, Jeremija ja teised, kes noil aegadel elasid, kirjeldasid usulist kriisi ning Idamaa rahvaste moraalset allakäiku Palestiinas, Mesopotaamias ja Egiptuses. Konfutsiuse elulugu kõneleb poliitilise moraali laostumisest Hiinas. (Markus 1989: 1646-1647)

Kasulik lisandus ajaloolisele kontekstile. Mitmed on välja toonud, et Pythagoras, Gautama Buddha, Confucius (ja vb ka Zarathustra ja Iisak) elasid ja tegutsesid enam-vähem samal ajal 6. sajandil eKr (vt Stapleton 1958: 25-26; Veljan 2000: 259).

Sellele eelantiiksele depressioonile järgnes antiikmaailma suhteliselt kiire tervenemine. Tollal sündisid mitmel maal rohked tähtsad isiksused, kes olid osalt ajakaaslased. Hiinas elasid Konfutsius (551-479) ja Laozi (sünd. 604), Indias Buddha (sünd 560?), Pärsias Zarathustra (600. a paiku), Kreekas Thales (640-550), Pythagoras (570?-500) ja teised. Neile järgnes hiljem rida teisi hiina filosoofe, siis Sokrates, Platon ja Aristoteles Kreekas, kristluse rajaja Palestiinas ja teised. Nii näitabki joonis 1 renessanssi, mis hõlmas kogu tsiviliseeritud antiikmaailma, lõi universaalseid usundeid ja kõlblussüsteeme, andis alguse filosoofilistele ideedele - kõik see elustas Egiptuse ja Assüüria jõeorgude kultuurid, viljastas vahepeal mandunud Hiina tsivilisatsiooni ning laskis sündida uutel elujõulistel kultuuridel nagu budism, kreeka-rooma hellenism and kristlus. Nagu öeldud, 6. sajandil eKr paigutus kultuurikolle ümbel kuivvööndi jõeoaasidest parasvöötme subtroopika piirialale. (Markus 1989: 1647)

Põhimõtteliselt sama nimekiri olulistest tegelastest. Lisanduvad Laozi ja Thales. Zarathustra on selles nimekirjas, nagu ma aru saan, ekslikult, sest keegi kuskil olevat arvanud, et Pythagoras sai Zarathustralt õpetust, mistõttu nad pidid kindlasti kaasaegsed olema.

Leinbock, Arved 1990. Inimese nägu. Akadeemia 7: 1460-1483. [Digar, pdf]

Füsiognoomika tähendab tõlkes teadust näost, kuid see ei ole teadus. Ka meie päevil, mil täheldame astroloogia [|] ja teoloogia taasärkamist, ei ole märgata usu taastumist füsiognoomika õitseaegade tarkustesse. Füsiognoomika ajalugu on pikk. Paar tuhat aastat oldi veendunud, et näo ja miimika iseärasustele vastavad teatud kindlad iseloomu, kalduvuste ja annete iseärasused. Selle tipuks oli väide, et inimest nägemata, kuid tema veendumusi ja loomingu tulemusi teades võib konstrueerida tema näo. (Leinbock 1990: 1480-1481)

Peaaegu, et triaad: (1) tundeline iseloom; (2) kalduvus tegevusele; ja (3) vaimsed anded.

Teaduste nimekirja võttis füsiognoomika Aristoteles oma sellesisulise traktaadiga. Seal kinnitati, et näost olevat näha inimese andekus, julgus, argus, ja jämeda ninaga inimene on jäme ja terava ninaga inimene tulise iseloomuga, et kulli ninaga inimesel on kulli ja koera ninaga inimesel koera käitumisviis. Praktikas oli selliseid seisukohti rakendatud juba varem - Pythagoras ei lubanud enda juurde matemaatikat õppima kedagi, kelle näost ei paistnud matemaatilist andekust. Sokrates valis endale õpilasi, uurides kõigepealt nende nägu. Hiljem on füsiognoomikat pooldanud Cicero, Plinius Noorem, Ibn Sina. Kuigi füsiognoomika vastu olid järgnenud sajanditel välja astunud Bacon ja Montaigne, harrastas seda tõsiselt Kant. Goethe aga kiitis avalikult viimase suure füsiognomisti Johann Lavateri tuhandete näojoonistustega neljakõitelist füsiognoomika "piiblit", mis ilmus aastail 1775-1778. Füsiognomistidele püüdis 19. sajandi algul konkurentsi pakkuda austria arst Franz Gall, kes leidis, et kõik see, mida püütakse teada saada näost, on tegelikult kirjutatud koljuluule (freenile), et iseloomu ja andeid näitavad koljuosade kuju, kühmud ja lohud. Galli õpetus sai tuntuks frenoloogia nime all. (Leinbock 1990: 1481)

Tuleb isegi täitsa tuttav ette Iamblichoselt: "Samamoodu uuris ta [Pythagoras] nende [oma potentsiaalsete õpilaste] [keha]kuju, kõnnakut ja kogu keha liikumist. Ta võttis füsiognoomiliselt arvesse nende [keha] ülesehituse loomulikud tunnused ja muutis need hinge väljapaistmatute omaduste tajutavateks märkideks. Kui ta, seetõttu, kedagi proovile pani, jättis ta [vaadeldava inimese] kolmeks aastaks tähelepanut, kõik see aeg jälgides, kas inimene kaldub olema stabiilne, õppimist tõeliselt armastama ja hiilguse suhtes piisavalt ette valmistatud, et igasugust au põlata." (Iamblichus 1818: 37-38) - St nähtavasti ei olnud Pythagorase füsiognoomika päris "kulli nina = kulli käitumisviis" tüüpi, nagu Aristotelesel, vaid pikemaajalise pealtjälgimise küsimus, et tuvastada potentsiaalse koolkonna-liikme tegelikke suhtumisi.

Kõiv, Mait 1990. Kreeka filosoofia ja mõttemaailma sünnist. Akadeemia 3: 538-563. [Digar, pdf]

Kreeka mõttemailma põhiliseks eripäraks võib pidada rangelt loogilise, deduktiivse (n-ö teadusliku) mõtlemise väljakujunemist ja selle edaspidist lahutamatut seost filosoofilise spekulatsiooniga. See tunnus, mis näib kreeka maailmavaadet eristavat Ida filosoofiast, ei [|] ilmnenud esmakordselt aga mitte Anaximandrosel, vaid alles V saj. esimese poole Elea (Itaalias) filosoofil Parmenidesel. Tema õpetuse tuumaks sai "oleva" mõiste, mida ta piiritles selle vastandlikkuses mitteolevale, põhjendades oleva mõistest lähtudes, seega deduktiivsel teel, selle peamised omadused: muutumatus, sest olev võiks muutuda vaid millekski mitteolevaks, ühtsus ja jagamatus, sest kui mõni oleva osa oleks temast erinev, siis peaks see olema mitteolev, jne (Чанышев 1975: 169-170). Veelgi kaugemale ulatus deduktiivse mõttekäigu kasutamine Parmenidese õpilase Zenoni apooriais õpetaja seisukohtade kaitsmiseks. (Kõiv 1990: 547-548)

Parmenidese (ja Zenoniga) on imelik lugu. Wikipedia Pütaagorlaste kategoorias on nad mõlemad kirjas täpselt ühe tsitaadi tõttu, mis on mõlema filosoofi artiklites, sest Diogenes Laertios seostas neid kaudselt ja keegi William Smith nimetas neid (tõenäoliselt ekslikult) oma sõnastikus pütaagorlasteks, või vähemalt tõmbas paralleeli, et Parmenidesest võiks just nagu Pythagorasest kirjutada Parmenidese Elu vms. Siin aga paneb "piiri" mõiste täitsa mõtlema, sest piiratud ja piiritu olevat olnud pütaagorlikud kategooriad (vähemalt Philolaose kirjutistes).

Küllalt levinud seisukoha järgi tekkis deduktiivne mõtlemine matemaatika kui kõige abstraktsema teaduse arenemise käigus, kandudes sealt teistesse valdkondadesse, muu hulgas filosoofiasse (Gompertz 1922: 139; Зайцев 1985: 84-186). selline seisukoht toetub hilisemale kreeka ajaloolisele traditsioonile, mis omistab Parmenidese eelkäijatele Thalesele ja Pythagorasele matemaatiliste teoreemide tõestamist. Traditsiooni ei saa antud juhul aga vääramatuks argumendiks pidada. Kreekas oli küllalt tavaline, et kõikvõimalikke saavutusi omistati mineviku suurkujudele (Gutherie 1962: 53), ja Thales, traditsiooni kohaselt esimene kreeka filosoof ja matemaatik, oli selleks ülimalt sobiv. Tema puhul pole küll alust vaidlustada matemaatika ja geomeetria elementaartõdede tundmist, kuid ei saa kinnitada, et sellega kaasnenuksid deduktiivsed tõestused (Dicks 1959: 303; Gutherie 1962: 53-54). (Kõiv 1990: 548)

Samasse kategooriasse lähevad pikaldased spekulatsioonid selle üle, millised osad Eukleidese geomeetriast põhinesid Pythagorase matemaatikale.

Veelgi keerulisem on lugu Pythagorasega, kelle enese vaateid on sageli võimatu eristada tema õpilaste ja järgijate, nn pütagoorlaste omadest. Põhjuseks oli pütagoorlaste ühingute ja siit tulenevalt ka õpetuse salastatud iseloom, mis lõi nende ümber salapärasuse oreooli ja muutis eriti tõenäoliseks kõikvõimalike seisukohtade ja saavutuste omistamise koolkonna peatselt legendaarseks muutunud rajajale. Hilisemad pütagoorlased kahtlemata tegelesid matemaatikaga, ja V. saj. teisel poolel oli see deduktiivne, kuid Pythagorase enese kohta kindlalt usaldusväärsed andmed puuduvad (Burkert 1962: 142-150). (Kõiv 1990: 549)

Kohustuslik ajaloolise ebamäärasuse klausel, sest Pythagorase endi kirjutisi meil ei ole ja vara-pütaagorlastelt (5.-4. sajandist eKr) on säilinud kesised katkendid.

Pütagoorlaste filosoofia oli ilmselt algusest peale seotud arvude ja nende substantsioneerimisega, ent seegi ei osuta tingimata deduktiivsele mõtlemisele. Arvudel oli maagiline tähendus mitmetes religioonides, sealhulgas orfistlikus maailmapildis (Gompertz 1922: 89), millega Pythagoras oli tihedalt seotud. Arvude tähtsustamise lähtekohaks võis olla ka empiiriline avastus helikõrguste kvantitatiivsetest vahekordadest (Burnet 1924: 45-49). Kõige selle juures ei teinud pütagoorlased endale päriselt selgeks, mida arvud endast kujutavad ja milline on nende vahekord muude asjadega. Vähemalt Aristotelesele, kes nende filosoofiale spetsiaalse teose pühendas, jäi see küsimus segaseks. Seega polnud nende arvukäsitus ilmselt võrreldav Parmenidese "oleva" piiritlemisega ega viita mõttekäigu rangele loogilisusele. Nähtavasti tuleb, [|] nagu Thalese puhulgi, lugeda väga tõenäoliseks, et Pythagoras tegeles muu hulgas ka matemaatikaga, ent ei tema ega Thalese mõttekäigu deduktiivsuse kinnitamiseks või välistamiseks pole piisavalt usaldusväärseid allikaid. (Kõiv 1990: 549-550)

Gomperzi suurteose esimest köidet lugesin. Teine paljutõotav allikas: Burnet, John 1928. Gree Philosophy Part I: Thales to Plato. London: Macmillan & Co. See on muidugi iseenesest juba tuttav tõik, et pütaagorlaste arvuteooria on müstiline, maagiline, sümbolistlik, jne.

Orfism oli VII sajandist alates Kreekas levinud, Dionysose kultusega seotud sektantlik ja müstiline religioosne liikumine, mis omistas oma tõekspidamised mütoloogilisele laulikule Orpheusele. Põhidogmaks oli hinge kui inimese jumaliku jao surematus ja taaskehastumine (n-ö hingede rändamine). Orfistlikelt mõtlejatelt pärineb ka mitmeid teogooniaid. Mitut orfistlikku prohvetit seob hilisem traditsioon otseselt Pythagorasega, kes ka ise olevat mõnede orfistlike tekstide autor. (Kõiv 1990: 549, joonealune märkus 18)

"Taaskehastumine" on üsna täpne tõlge metempsühhoosile. Nende orfistlike prohvetite kohta tahaks rohkem teada. Pythagorasele omistatud orfistlikest tekstidest olen midagi ähmast kohanud.

Aristotelese järgi on arvude ja asjade vahekorda pütagoorlastel võimalik mõista mitmeti: asjad on arvud (Arist. Metaph. 987b 28), asjad koosnevad arvudest (1090a 20), asjad meenutavad numbreid (987b 11), arvu elemendid on kõige eksisteeriva elementideks (985b 32). (Kõiv 1990: 549, joonealune märkus 20)

Tüüpiline ebamäärasus. Kas "kõik on arv", või kõik on pelgalt mõõdetav? Bekkeri numbrid tulevad kasuks - ehk kaen need kirjakohad üle juba enne tervikteose lugemist. Aristotelese Metafüüsikat pole veel eesti keelde tõlgitud, aga eks Anne Lill saab selle ka varem või hiljem tehtud.

Asukoht Lähis-Ida kõrgtsivilisatsioonide naabruses võimaldas laenudel sealseilt kõrgemalt arenenud kultuuridelt juba üsna varakult kreeklaste mütoloogiasse tungida (Nilsson 1927: 319-321, 329-333). VIII-VII sajandil, kui vahepeal nõrgenenud kontaktid Idamaadega taastusid, sattusid kreeklased Oriendi mõju all sellisel määral, et on põhjust rääkida orientaliseerunud epohhist kreeka kultuuri arengus. Pole kahtlust, et Ees-Aasia mütoloogilis-religioossed kujutelmad mõjutasid oluliselt kreeka maailmapilti (Starr 1961: 280-281; Murray 1980: 274-291; Burkert 1984: 43-119). Oriendi laenudeks võisid olla orfistlik doktriin hingede taaskehastumisest, kujutlus veest kui kõige algest ja VI saj. teoloogi Pherekydese omapärane kosmogoonia. Tugevaid orientaalseid [|] mõjusid on leitud nii Anaximandrose, Herakleitose kui ka Pythagorase vaadetes. Enam või vähem tõenäoliste laenude loetelu võiks tunduvalt pikendada, ning kuigi pole võimalik kaugeltki kõiki, võib-olla suurt enamikkugi sellistest oletustest tõestada, ei sea see kahtluse alla kreeka kultuuri avatust. Oriendi mõjudele, muu hulgas ka mütoloogiliste ja filosoofiliste kujutelmade osas. (Kõiv 1990: 552-553)

Samuti juba põliselt tuttav problemaatika: Pythagoras väidetavalt õppis Egiptuse preestrite käe all ja siis võeti vangistusse ja viidi Pärsiasse, kus ta õppis sealsete maagide käe all. Põhiline ühendus on siin jällegi see sama taaskehastumine või metempsühhoos, sest pütaagorlased väidetavalt panid oma haudadesse kaasa pärastelus kasukstulevaid tekste ja loitse, just nagu on lugu Egiptuse "surnuraamatu" (vt Kingsley 1994: 3) ja nt Nag Hammadi raamatukoguga.

Kiho, Toomas 1990. Spekuleerimas Leibniziga. Akadeemia 6: 1186-1200. [Digar, pdf]

Leibniz ei ole küll mõiste monaad esmakasutaja filosoofia ajaloos, on aga ometi selle mõiste justkui monopoliseerinud. Antiikajal kasutasid Pythagoras ja tema järel Eukleides monaadi matemaatilise ühiku märkimiseks, seega olid arvud neile monaadide kogumid. Giordano Bruno mõistis termini monaad all ühekorraga nii füüsilisi kui psüühilisi tegelikkuse elemente, ühikuid. Leibnizi monaadi-definitsioon, mis on käesoleva alajaotuse alguses ära toodud, lubas tema idealismiga ühendatuna mõista monaadi kui aktiivset jagamatut vaimset alget. Aktiivsus on monaadi sisemine printsiip - püüdlemine täiuslikkusele. (Kiho 1990: 1191)

Nii ta on. Monaad = 1. Gnostitsismis, nagu ma aru saan, tähistab ta samamoodi jumalat või kõiksust, millest evib kõik muu. See artikkel rohkem Pythagorast ei maini, aga näeb muidu jube asjalik välja - koos eelmisega paigutaks sellesse kategooriasse, mida esimesel võimalusel tahaks otsast lõpuni lugeda (tääg: Hiljem lugeda.). Üha enam hakkab ka koitma, et nii mõnigi arusaamatu seik E. R. Clay juures, nagu nt to pan, võivad vabalt olla pütaagorlikud. Tema ülelugemine pärast pütagorismiga lähemalt tutvumist võib olla lõbus.

Ferguson, George 1991. Märgid ja sümbolid kristlikus kunstis VII. Tõlkinud Meelis Sügis, Tõnu Karolin ja Heili Einasto. Akadeemia 5: 1105-1134. [Digar, pdf]

Geomeetrilised kujundid. Ring: Ring või sõõr on igaviku ja lõpmatu eksistentsi üldtunnustatud sümbol. Jumala monogrammina esindab ring peale Jumala täiuslikkuse ka Jumala igikestvust, "kes oli, kes on ja saab igavesti olema". (Ferguson 1991: 1132)

Ring = 1 = monaad = jumal.

Kolmnurk: Võrdkülgne kolmnurk on Kolmainsuse sümbol, viidates kolmele üheks liidetud võrdsele osale. Kolmnurkset nimbust kasutati üksnes Jumal Isa või Kolmainsuse kujutamisel.
Kolme ringiga kolmnurk on monogrammiks, mis tähistab Kolmainsust: kolm isikut ühes Jumalas: Isa, Poeg ja Püha Vaim. (Ferguson 1991: 1132)

Pütagorismis mitte. Üks rida on puudu, et oleks tetractys.

Ruut: Vastandina ringile on ruut maa ja maise eksistentsi sümbol. Selles tähenduses on ruutu kasutatud maalidel elavate inimeste nimbusena. (Ferguson 1991: 1132)

Kui ma väga puusse ei pane, siis pütagorismis on vasteks tasand.

Pentagramm: Pentagramm on viisnurkne tähekujuline kujund, mis moodustub korrapärase viisnurga külgede pikendamisel, kuni nad lõikuvad. Sellel kujundil on väga ammusest ajast sümboolne tähendus, mida esimesena kasutasid kreeka filosoofi, matemaatika ja usureformaatori Pythagorase õpilased ja hiljem keskaegsed maagid. Ilmalikus tähenduses kasutati pentagrammi kaitseks kurjade nõiduste eest. (Ferguson 1991: 1132)

See on üks pentsikumaid asjaolusid, et tänapäeval satanismiga seostatav viisnurk tähendas kunagi head tervist. Ühe allika järgi olevat viisnurk olnud koogivorm - selle viisnurga tippudesse kirjutati ükshaaval kreeka tähed ΥΓΕΙΑ ("tervis") (vt Stapleton 1958: 35).

Kolme nimetas Pythagoras lõpetatuse arvuks, sest see tähistab algust, keskpaika ja lõppu. Kristlikus sümboolikas sai kolm jumalikuks arvuks, mis viitab Kolmainsusele ja samuti kolmele päevale, mis Kristus hauas oli. (Ferguson 1991: 1132)

Lause, mille peal sain Wikipedia artikleid tõlkides mitu korda kätt provida: "A dominant symbolism was awarded to the number three, Pythagoreans believed that the whole world and all things in it are summed up in this number, because end, middle and beginning give the number of the whole." (Pythagoreanism: Arithmetic and numbers)

Seitse on halastuse, armu ja Püha Vaimu arv. Vanaaja kirjamehed kasutasid seitset ka lõpetatuse ja täiuslikkuse arvuna. Piiblist võib sellise kasutusviisi kohta leida arvukalt näiteid. (Ferguson 1991: 1133)

Ferguson jätab väga targasti Pythagorase siin mainimata, sest pütagorismis on seitsmel küll oma tähendus, aga täiuslik arv on 10, sest see on esimese nelja arvu summa: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Mille poolest 7 täiuslik on, ei oska arvatagi.

Huizinga, Johan 1992. Mängiv inimene: Kultuuri mänguelemendi määratlemise katse V. Tõlkinud Mati Sirkel. Akadeemia 7: 1535-1566. [Digar, pdf]

Protagoras nimetab sofistikat "vanaks kunstiks", technēn palaián, tabades sellega asja olemust. See on vana teravmeelemäng, mis juba arhailise kultuuri kõige varasematel perioodidel libiseb iga hetk pühadusest pelga lõbustuse tasandile, mis kord puudutab ülimat tarkust, siis aga on jälle vaid mänglev võistlus. Werner Jaegeri meelest pole "die neuere Mode, Pythagoras als eine Art von Medizinmann hinzustellen" (uuemaaegne mood esitada Pythagorast omamoodi teadmamehena) vastuväite vääriline. Ta unustab sealjuures ainult selle, et teadmamees on siiski loomult ja ajalooliselt kõigi filosoofide ja sofistide vanem vend ning selleks ka jääb. Kõigis neis on üha säilinud selle vana suguluse jooni. (Huizinga 1992: 1564)

Esiotsa ei tundu klappivat, et Medizinmann = teadmamees. ÕS'i järgi on "teadmamees" (või "teadmanaine") "tark, teadja. Vana aja teadmamehed". Mõistagi on kummaline Pythagorast teadmameheks - filosoofide ja sofistide vanemaks vennaks - nimetada kui ta ise nimetas ennast filosoofiks (ja kuuldavasti oli esimene, kes seda tegi). St mitte "tark", vaid "tarkuse armastaja".

Hieronymus 1992. Paulinusele. Tõlkinud Ilmar Vene. Akadeemia 9: 1806-1821. [Digar, pdf]

Vanadest ajalooteostest loeme, et mõned on läbinud provintse, külastanud uusi rahvaid, ületanud meresid, selleks et neid, keda tundsid raamatute järgi, näha ka palgest palgesse; nii külastas Pythagoras Memphise preestreid; nii rändas Platon suure vaevaga läbi Egiptuse, nägi Tarentumi Archytast, jõudis sellele Itaalia rannale, mida kunagi kutsuti Suureks Kreekaks, et ateenlaste õpetajast ja võimumehest, kelle õpetus kajas Akadeemia gümnaasiumides, muutuda võõramaalaseks [|] ja õpilaseks, kes oma õpetuse söakale esitamisele eelistab tagasihoidlikult õppida teiste omi. Lõpuks, kui ta üürikest kirjatarkust taotledes oli läbinud peaaegu kogu maailma, võtsid mereröövlid ta vangi ja müüsid maha; tal tuli kuuletuda julmale türannile: vangi, aheldatu ja orjana. Olles filosoof, oli ta siiski suurem enese ostjast. (Hieronymus 1992: 1806-1807)

Seda, kus Pythagoras täpselt Egiptuses käis, pole ma varem väga tähele pannud. Platoni puhul on püänt muidugi selles, et see "teiste" õpetus, mida ta eelistas "tagasihoidlikult õppida" oli pütaagorlaste oma. Ja mis "tagasihoidlikkusest" saab rääkida, kui ühe loo järgi olevat Platon vahemehe kaudu ostnud kellegi pütaagorlase leselt tema raamatud.

[Archytas oli] Kuulus pütagoorlane, tegutses 4. sajandil eKr. Arvatakse, et pütagoorlik aines on Platoni hilisloomingusse ilmunud tema mõjutusel. (Vene 1992: 1806, joonealune märkus 1)

Seda, et Archytas võis Platonit selles suunas mõjutada, ma ei teadnud. Kes niimoodi arvab?

Apollonios, kas siis too mustkunstnik, nagu lihtrahvas räägib, või filosoof, nagu teatavad pütagoorlased, suundus Pärsiasse, möödus Kaukaasiast, jõudis albaaniasse, sküütide, massageetide juurde, läbis ülirikkad India kuningriigid ning jättes seljataha määratu Philosoni jõe, jõudis lõpuks brahmaanide juurde, et kuulata, kuidas kuldsel troonil istuv ja Tantalose allikast joov Hiarchas annab vähestele õpilastele õpetusi looduse, kommete ja päevade kulgemise kohta; Elami, Babüloonia, Kaldea, Meedia, Assüüria, Partia, Süüria, Foiniikia, Araabia ning Palestiina kaudu saabus ta sealt tagasi Aleksandriasse, suundus Etioopiasse, et näha gümnosofiste ning toda ülikuulsat päikeselauda keset liiva. Kõikjalt leidis see mees, mida õppida, ning lakkamatult teadmisi omandades muutis ta end lakkamatult [|] paremaks. Kaheksas raamatus on sellest ülipõhjalikult kirjutanud Philostratos. (Hieronymus 1992: 1807-1808)

Apollonios Tyanast on ikka väga meeldejääv tegelane. Eks tema rännakutest saan lähemalt lugeda Philostratose raamatust. Ilmar Vene on joonealuses märkuses ära tõlkinud ka tolle raamatu pealkirja: Tyana Apolloniuse elu. Imelik, et selle peal kirjas ei ole eestindatud Apollonios. Looduse, kommete ja päevade kulgemise puhul jälle ebamäärane triaad: loodus/keha, (käitumis)kombed, ja midagi "kõrgemat". See triaad oleks väga huvitav kui see oleks Philostratose raamatust sõna-sõnalt võetud (eks siis kunagi näeb).

Lehti, Raimo 1994. Antiigi maailmapildist suurte avastusretkedeni: Aristotelese kosmoloogia ja selle probleemid. Tõlkinud Kajar Pruul. Akadeemia 2: 244-285. [Digar, pdf]

Üks eriküsimus, milles kristlik kosmoloogia ja antiikaja arusaamad teravasse vastuollu sattusid, puudutas maakera vastaspoolel oletatavasti elavaid inimesi ehk antipoode ("vastasjalgseid"). Kreeka maailmapildi puhul ei tekitanud seesuguste võimalik olemasolu mingit võõrastust. Kui Diogenes Laertios väidab, et Pythagoras oli esimene, kes pidas Maad kerakujuliseks, siis oletab ta ühtlasi Pythagorast mõelnuvat nii: "On olemas ka antipoodid, ja mis nende jaoks on "ülalpool", see on meie jaoks "allpool"" (Diogenes Laertios 1979-1980: II, 343; vrd Duhem 1958-1973: I, 7-8). (Lehti 1994: 262)

Ühel hetkel ei jää muud üle kui Diogenes Laertiost (Väljapaistvate filosoofide eludest, õpetustest ja ütlustest) tervikuna lugeda. Allpool on katkend Sokratese elust, aga vähemalt Pythagorase peatüki võiks kiiremas korras päevakavva võtta. Sisukorra järgi võiks ligemale ülevaatamisele kuuluda ka Thales (lk 14), Pittacus (35), Pherecydes (53), Cebes (105), Epircharmus (369), Archytas (369), Hippasus (371), Philolaus (372) ja Eudoxus (372). (Siin ehk parem tõlge.)

Klerikaalidele võrdus antipoodide olemasolu võimalus kirikuvandega. Nad olid selle mõtte vastu usulistel põhjustel. Pealegi pakkus kujutlus pea alaspidi ringi kõndivatest inimestest oivalist võimalust naeruvääristada rahva silmis kogu antiikset haridust ja eriti õpetust kerakujulisest Maast. On selge, et antipoodide olemasolu pidasid võimatuks Lactantiuse-taolised kirikuisad, kes pooldasid lapikut Maad. Siinkohal aga ühines nendega ka osa kerakujulise Maa poolehoidjaist. Suur mõju oli kirikuisa Augustinuse seisukohal. Tema ütles, et säärastest Aadama järeltulijatest ei kõnele Piibel midagi ega oleks nad kuidagi võinudki Aadamast põlvneda. Kuidas oleks siis Kristuski saanud surra nende eest ja kuidas oleks saadud neile jutlustada evangeeliumi? 8. sajandil tegi selles küsimuses tüli Salzburgi piiskop Virgilius, kellest räägitakse, et ta olevat pooldanud antipoodide olemasolu. See-eest Isidorus ja ka Beda Venerabilis, esimene inimene, kes keskajal kindlalt Maa kerakujulisust õpetas, eitasid antipoodide olemasolu. (Lehti 1994: 262)

Maa ei saa ümar olla, sest siis peaksid austraallased pea peal kõndima.

Stewart, Ian 1996. Kas jumal mängib täringuid? Kaosematemaatika IX. Tõlkinud Kristin Haljasorg. Akadeemia 4: 837-862. [Digar, pdf]

Üks foto Voyageriga kaasas oleval plaadil kujutab matemaatilisi definitsioone. Inimkonna ammuse traditsiooni järgi on parim vahend võõrastega kontakteerumiseks matemaatika - nähtavasti eeldatakse, et see on universaalne mõtlemisviis. Carl Friedrich Gauss arvas, et Sahara kõrbesse võiks marslaste ja muude niisuguste jaoks maha joonistada Pythagorase teoreemi, et nad võiksid seda oma teleskoopidega uurida. Teised kavad sisaldavad mõtteid edastada algarvude jada või π kümnendkohad, oletades, et need tunneb igal juhul ära viimne kui tsiviliseeritud, mõistusega rass ning järelikult tuntakse ära ka meie, neid edastavate olendite intelligentsus ja tsiviliseeritus. (Stewart 1996: 839)

"Aritmeetika, arvuseadus, oli olemas enne, kui loodi midagi, mida arvutada või mõistus, mis arvutaks" (Charles Peirce, W 1: 169).

Anglin, William 1996. Matemaatika ja ajalugu. Tõlkinud Jaan-Olle Andressoo. Akadeemia 10: 2117-2131. [Digar, pdf]

Matemaatika on Mõistuse kontsentraat. Tema tekkelugu ulatub tagasi vanasse Egiptusesse ja Mesopotaamiasse. Tegelikult võib väita, et matemaatika sai alguse Vana-Kreekast: seal sündis tõeline, puhas matemaatika, ning puhas matemaatika on parem rakendusmatemaatikast, sest puhas mõistus on parem nn ebapuhtast mõistusest. (Anglin 1996: 2117)

Alternatiivne seletus, mida olen kuskil kohanud (tõenäoliselt vilksamisi ühtedes järgnevatest artiklitest), on see, et Vana-Kreekas mitte ainult ei tuntud teoreeme, vaid ka nende tõestusi. See teeb võib-olla puhta matemaatikaga sama välja, pole kindel, olen pigem akusmaatik.

Suurimad Vana-Kreeka matemaatikud olid Eudoxos, Apollonios, Archimedes ja Hypatia. Hypatia tegi küll vähe võrreldes Archimedesega, kuid et ta oli naissoost matemaatik, võime olla kindlad, et tema tõelist suurust varjutas meessoo šovinism. (Anglin 1996: 2117)

Eudoxose kohta ei tea veel suurt midagi, aga Apolloniose nimi Archimedese ja Hypatia omade hulgas tundub õite kummaline. Ilmar Vene joonealuses märkuses on tema kirjelduseks antud "Uuspütagoorlik filosoof ja imetegija" (Vene 1992: 1807, joonealune märkus 2). See, et Apollonios oli matemaatik, kõlab samavõrd kummaliselt kui, maitea, "Jeesus oli oraator ja retoorik". - Tuleb Müürsepa artiklist (allpool) tuleb välja, et mõeldakse hoopis Archimedese kaasaegset Apolloniost Pergest, kes kirjutas koonuslõigetest.

Vaatamata sellele, et kreeklased eelistasid tegelda geomeetriaga ega tegelnud liikumise matemaatilise väljendamisega, on nad tohutult imetlusväärsed. Kahjuks saavutasid ebausk ning ignorants taas ülemvõimu peale Hypatia mõrvamist piiskop Cyrilluse käsul (aastal 415) ning Lääne-Euroopa matemaatika ajaloos saabus tuhande aasta pikkune vaikus. (Anglin 1996: 2117)

See üldteada tõik muutub seda tähenduslikumaks kui võtta arvesse kuidas pütaagorlased oma matemaatikat harrastasid: "the Pythagorean philosophers represented numbers graphically, not symbolically through letters. Pythagoreans used dots, also known as psiphi (pebbles), to represent numbers in triangles, squares, rectangles and pentagons. This enabled a visual comprehension of mathematics and allowed for a geometrical exploration of numerical relationships" (Pythagoreanism: Arithmetic and numbers).

Araabias arenes sel ajal algebra. Kuigi al-Horazmi ei suutnud Pythagorase teoreemi kehtivust tõestada mitte-võrdhaarse kolmnurga puhul, oli ta siiski suurepärane algebraist. Ta leidis ruutvõrrandi kaks lahendit ning kasutas kolme erinevat π väärtust. (Anglin 1996: 2118)

Natukene kummaline hüpe: "sel ajal" hõlmab Hypatia surma (415) ja Al-Horazmi (783-850) eluaja vahele jäävat ~400 aastat. Kõlab nagu Shakespeare'iga umbes samal ajal kirjutanud Tammsaare....

Boyeri ning Marzbachi Matemaatika ajaloos on kümme peatükki kahekümne kaheksast pealkirjastatud matemaatikute nimedega. Sissejuhatuses matemaatika ajalukku (nt viiendas väljaandes) peab Howard Eves oluliseks ära tuua Pythagorase ja Archimedese pildid, olgugi, et pole teada, kuidas nad välja nägid. Raamatu Geeniused läbi aegade eessõnas kinnitab Dunham, et matemaatikute eraelu mõistmine "võib ainult kergendada nende töö väärtuse hindamist". Burtoni Matemaatika ajaloo eessõnas on kirjutatud: "Erilist tähelepanu on pööratud teadlaste elulugudele, kes on teinud suuri saavutusi matemaatikas. Tuginedes erinevate teadlaste biograafiatele, võib kinnitada, et intellektuaalses sfääris on indiviididil [sic] olulisem roll kui kus tahes mujal." (Burton 1988.) (Anglin 1996: 2120)

Ma ei ole nii kindel, kas see on alati mõttekas. Pythagorast võib pidada erandjuhuks, sest tema elulugu on tõepoolest huvitav - selles on religioosseid ja poliitilisi aspekte, mida me saame tagantjärgi lõputult nämmutada. Mitte iga matemaatik ei ole asutanud oma askeetlikku kogukonda. Enamus inimesi ei tea sellest muidugi tuhkagi, sest "Pythagorase teoreemi" õppides ei tuleks naljalt selle pealegi, et ta võis olla ainus kreeklane, kes kandis pükse, või, et jõge ületades teretas see teda nimepidi, jne. Kui mõni isegi väheandekas matemaatik võib ette näidata, et üks ta kehaosadest on kullast, siis tahaks tema kohta rohkemat teada.

Ei ole kahtlust, et just headest kavatsustest, kuid siiski liialdab David Burton teatavate naismatemaatikute tähtsusega. Oma Matemaatika ajaloos kirjutab ta, et Pythagorase naine Theano oli "märkimisväärselt võimekas matemaatik, kes mitte ainult et inspireeris teda viimastel eluaastatel, vaid ka jätkas peale Pythagorase surma tema mõttesüsteemi levitamist" (Burton 1988: 98). Neid väiteid ei saa kuidagi tõestada. Me teame, et Theano oli Pythagorase õpilane, kuid puudub igasugune tõestusmaterjal tema matemaatiliste võimete kohta ja tema mõju kohta Pythagorase tööle. Me ei tea sedagi, kas Pythagoras ise oli väljapaistev matemaatik või mitte: Pythagorase teoreemi kohta ei ole teada, kas Pythagoras oli esimene, kes selle tõestas või mitte, igatahes ei olnud ta selle esmaavastaja. (Anglin 1996: 2123)

Matemaatika kohta ei oska ma midagi kosta, aga praegu näib, et Theano on tõepoolest märkimisväärne filosoofia ajaloos, kui see vastab tõele, et just tema kirjutistest, millest osa on tänini säilinud, noppis Platon oma Vabariigi jaoks olulised psühholoogilised mõisted (andreia, sophrosyne, dikaiosyne ja sophia).

Müürsepp, Peeter 1996. Kultuur matemaatikas. Akadeemia 4: 778-789. [Digar, pdf]

Esimesel pilgul tundub, et vanad kreeklased olid paremas olukorras. Peame neid ju geomeetria loojateks ja matemaatika austajateks. Teame, et Platon ei võtnud oma akadeemiasse vastu neid, kes geomeetriat ei tundnud. "Jumalad toimivad alati geomeetriliselt," olevat ta väitnud. Lähemal süvenemisel selgub, et geomeetriavaimustus jättis ka tol ajal soovida. Oma "Seadustes" kirjutab Platon: "Kõige mõõtmisel, millel on pikkus, laius ja sügavus, osutuvad kreeklased naeruväärset ning häbistavat teadmatust." (Müürsepp 1996: 778)

Ähmaselt meenub kirjakoht, kus Platon üritab öelda, et midagi on siililegi selge ja väljendab seda mingis geomeetrias, kui mitte isegi Pythagorase teoreemiga. See, et jumalad toimivad geomeetriliselt, läheb iseenesest kenasti kokku pütaagorliku arvusümbolismiga.

Üsna tähelepanuväärne on täringu kahekordistamise ülesanne ehk nõndanimetatud Delose probleem. Delose linn olevat kunagi katku all kannatanud. Kodanikud küsinud oraaklilt, kuidas nuhtlusest pääseda, ja saanud vastuseks, et neil tuleb Apolloni kuubikujuline altar kahekordistada. Deloslased olid nõutud, sest ei osanud kahekordistamise geomeetrilist ülesannet lahendada ja palusid Platonilt abi. Too vastas, et Apollon polnud üldse soovinud altari kahekordistamist, vaid oli sellega tahtnud deloslastele näidata, kui vähe nad teadustest hoolivad ega pööra küllaldast tähelepanu geomeetriale (Cajori 1980: 21). (Müürsepp 1996: 778)

Rahvas: Appi, me sureme katku! Oraakel: lollid olete, tehke mata kodutöö ära.

Vanadelt kreeklastelt pärineb selge kujutlus matemaatilise tõestuse eesmärgist ja olemusest. Küllap see on nende suurim saavutus vaimuteaduste alal. Näib, et antiikaja matemaatikaalastest teadmistest oli enamik juba egiptlastele ja babüloonlastele tuntud ja kreeklased võtsid need ainult üle. Ometi olid kreeklased vahest esimesed, kes tundsid matemaatika mõisteid abstraktsioonidena väljaspool reaalset elu. Seetõttu olid kreeka filosoofid arvatavasti ka esimesed, kes mõistsid, et matemaatilist väidet tuleb tõestada, kui see tõene olema peab, ning et tõestama peab loogilise deduktsiooni abil kaheldamatutest põhitõdedest, aksioomidest lähtudes. (Müürsepp 1996: 779)

Võib-olla seda pidasingi ülal silmas. Materjali kogudes ikka silm peatub mõnel kirjakohal.

Näib, et umbes tuhat aastat pärast Pythagorast oli kreeklaste matemaatiline jõud ammendatud ehk proosalisemalt väljendudes: poliitiline olukord polnud matemaatilistele teadmistele enam soodne. Mõjule oli pääsenud kristlus. Filosoofiakoolid muutusid sellest suurel määral sõltuvaks. Keiser Theodosius käskis aastal 392 kõik paganlikud templid hävitada. Seda käsku täitsid kristlikud massid nii agaralt, et üks kahest suurest Aleksandria raamatukogust purustati täielikult. Pisut hiljem, aastal 415, tappis arvatavasti piiskop Kyrillose ässitusel rahvahulk Theoni paganliku tütre Hypatia (Gericke 1984: 244). Theon õpetas Aleksandria muuseumis ja andis välja nii Eukleidese "Elemendid" kui ka Ptolemaiose "Almagesti". (Müürsepp 1996: 780)

Vististi Lääne ajalugu läbistav refrään. Tulevad jumala armastust kuulutavad metslased ja hävitavad kultuuri.

Kuidas tutvustatakse matemaatika tulemusi, kuidas õpetatakse matemaatikat? Vähe teame klassikalisest antiikajast. Näib, et matemaatikud siis samuti nagu tänapäevalgi palju reisisid, et tolle aja tähtsates matemaatikakoolides õppida. Matemaatika avastused anti peamiselt edasi suuliselt, mis oli seotud teatud salastamisega. Seda väidab Pythagoras ja tema koolkond. Saadud tulemused ja tõestused märgiti pärgamendile või papüürosele. Kirjutusrulle koguti raamatukogudesse ja neid levitati ning kommenteeriti umbes nagu ajakirju, kuid mitte ühtegi originaali ei ole säilinud. Prokloselt, Ateena koolkonna ühelt viimaselt esindajalt, on meieni jõudnud Eukleidese esimese raamatu mõne osa kommentaarid ja õnnekombel ka matemaatikute nimekiri. Nii teame vähemalt antiikaja produktiivsete matemaatikute enamiku nimesid. (Müürsepp 1996: 10)

Kui Pythagoras sai oma matemaatika-alased teadmised Egiptuse preestritelt ja Pärsia maagidelt, siis on tõenäoline, et need teadmised olid kaua enne 6. sajandit eKr olnud olemas, aga vaid müsteeriumitesse sissepühitsetute jaoks kättesaadavad.

Prinits, Olaf 1997. Eestikeelse geomeetriaõpetuse rajajad Joosep Kapp ja Jakob Tülk. Akadeemia 1: 3-33. [Digar, pdf]

Nurga mõiste tuuakse sisse kahe lõikuva sirge kaudu. Tänapäeva lugejale ei pruugi mõistetavad olla sellised nurkade nimetused nagu loodvinkel (täisnurk), tömpvinkel (nürinurk), madal vinkel (sirgnurk). (Prinits 1997: 14)

Kaunis.

Omaette peatükk on pühendatud Pythagorase lausele järgmise sõnastuses "Hüpotenuuse ruut on nii suur nagu loodjoonte ruudud mõlemad kokku". (Prinits 1997: 14)

Minust on olude sunnil saanud Pythagorase teoreemi sõnastuste kollektionäär. See on üks väärt lisandus.

Parema ettekujutuse saamiseks raamatust esitame tekstinäitena Pythagorase teoreemi tõestuse ja paar ülesannet.

"Pytagräuse õpetustükk.
Selle tüki tõtt ei ole mitte raske põhjendada. Võetakse üks loodvinkliline kolmnurk abd, tõmmatakse iga külje (kahe loodjoone ja hüpotenuuse) pääle üks ruut, lastakse a punktist joone db (hüpotenuuse) pääle lood, pikendatakse seda joont g punktini. Seeläbi langeb hüpotenuuse ruut kaheks pikkruuduks degh ja begi. Tõmmatakse nüüd veel abijooned ai ja dl.

(Prinits 1997: 14)

Oijummel, ma võtan niigi vabadusi "pütaagorlastest" (mitte pütagoorlastest) rääkides. Kujuta veel ette kui siin oleks läbivalt Pytagräus, pytagrism/pytagräusismus, pytagräuslased, jne.

Eesti Kirjameeste Seltsi Aastaraamatus 1878. aastal avaldas Jakob Tülk ilmselt esimese eestikeelse ulatusliku populaarse loodusteadusliku artikli "Inimeses ugu edenemisest ja teaduse kasvamisest" (Tülk 1878a). Ta alustas seda artiklit tähelepanu juhtimisega, et nimekad Vana-Kreeka teadlased nagu Thales, Pythagoras, Sokrates, Platon, Aristoteles ja Archimedes arvasid, et maa ja taevas on üles ehitatud küll tulest, veest, aurust, vaimust jne. Aga kaks nende hulgast - Pythagoras ja Archimedes - püüdsid maailma tekkimist seletada matemaatika abil. See neil ei õnnestunud. Ka Kopernikus ei suutnud seda veel teha. Kuid prantslane René Descartes tuli sellega toime. (Prinits 1997: 27)

Pythagoras peaks siin olema erand, sest ta ei üritanud mitte (ainult) maailma tekkimist matemaatika abil teha, vaid olevat arvanud, et maa ja taevas pole tehtud mitte tulest, veest, aurust, vaimust jne vaid arvudest.

Vaska, Lauri 1998. Ebatäpne aatom: Keemiaüliõpilasena Göttingenis. Akadeemia 7: 1453-1491. [Digar, pdf]

Weizsäckeri, Heisenbergi jt saksa füüsikute klassikalise muusika lembus ning harrastus oli tuntud, sellest on ikka kirjutatud, ka nende teaduslugudega ühenduses. Mängisid klaverit ja muid pille, käisid koos musitseerimas - Hausmusik. Nojaa - muusika ja füüsika! On koguni osutatud, et need on vaid sama nähtuse kaks külge. Et juba Pythagoras oma arvude kooskõlaga, Kepler oma taevasfääride harmooniaga ja Galileo, jah, ta oli (nii seisvat ürikutes) ka pillimängija! Ja nõnda edasi kuni viiuldaja Einsteinini välja, kes imetles muusikalisust loodusseadustes, ei pidanud aga õigeks kvantmehaanikat, milles puuduvat harmoonia, korrapärasus; teisisõnu, too teooria ei vasta muusikale! (Vaska 1998: 1456)

Pean tõdema, et "taevasfääride harmoonia" on eufoonilisem vaste musica universalis'ele kui lihtsalt "sfääride muusika".

Roos, Paavo 2002. Trooja sõda, Paabeli torn ja keelemõistmine. Akadeemia 9: 1809-1815. [Digar, pdf]

Ladina keelega seoses loeme tihti olemasolevatest või olematutest keeleraskustest, millega ajalookirjutajad kokku puutuvad. Eriti Livius on skeptiline keelest arusaamise kirjelduste suhtes ja üsna noriv, kui ta katsub olukordi seletada. Üks kord seletab ta, miks ühel roomlasel õnnestub etruski metsadest läbi reisida, ilma et keegi avastaks, et ta roomlane on - sellepärast, et ta nii kaua ümbruskonnas on elanud. Teine kord seletab ta, miks Rooma kolmanda kuninga Tullus Hostiliuse valitsuse ajal nii mitu elanikku ladina keelest aru sai Fidenae linnas, mis Roomast ainult 10 kilomeetri kaugusel asus, aga mille kohta ta on varem öelnud, et elanikud on etruskid. Üks traditsioon, mille suhtes Livius on skeptiline, on see, et Rooma teine kuningas Numa Pompilius [|] olevat filosoof Pythagorase käest õpetust saanud, ja ta küsib, mis keeles nad oleksid võinud vestelda. Kuidas oleksid Lõuna-Itaaliast, kus Pythagoras tegutses, kuulujutud Pythagorase kohta ulatunud Roomani, ja kuidas nad oleksid saanud nii mitme rahva läbi? Küsimus on muidugi põhjendatud. Õpetamiseks tõlgi abi eriti hästi ei tööta, ja võib küsida, kas nii varases ajaloos oleks võinud leiduda kedagi, kes valdas niihästi kreeka kui ka tollel ajal väga tähtsusetut ladina keelt. [...] Traditsioonilise kronoloogia järgi Numa elas u 700 eKr, s.t palju varem kui Pythagoras, ja Livius toonitab, et ka sellel põhjusel on jutt võimatu. On aga moodsaid uurijaid, kes Rooma varasema aja hilisemaks nihutavad. Selle kronoloogia järgi oleks Numa valitsemisaeg 6. sajandi keskel, mis paremini sobiks. (Roos 2002: 1813-1814)

Põnevad küsimused tõesti, mis ilmselt alatiseks vastuseta jäävad. Selle Numa kohta olen ühte artiklit juba lugenud: "Numa and the Pythagoreans: A Curious Incident" (Prowse 1964). Segane lugu tõesti.

Hildebrandt, Stefan 2003. Matemaatilise tunnetuse tõde ja väärtus. Tõlkinud Krista Räni. Akadeemia 7: 1347-1419. [Digar, pdf]

Muidugi ei avane matemaatilise mõttehoone ilu kaugeltki mitte igaühele. Schopenhauer näiteks nägi aritmeetikas "madalaimat kõigist vaimutegevustest" (Schopenhauer 1877). Kogu analysis finitorum et infinitorum, väitis ta, viib välja pelgale arvutamisele, ja tsiteerides Lichtenbergi: "Matemaatikaga on peaaegu [|] sama lugu mis teoloogiaga. Nii nagu viimasele pühendunud isikud, eriti need, kes peavad mõnd vastavat ametit, nõudlevad erilist pühaduse krediiti ja lähemat sugulust Jumalaga, ehkki väga paljud neist on tõelised päevavargad, samamoodi nõuab niinimetatud matemaatik vägagi tihti, et teda peetaks suureks mõtlejaks, ehkki ka viimaste hulgas leidub kõige hullemaid jahupäid, keda üldse on võimalik ette kujutada, sobimatuid mis tahes ettevõtmiseks, mis eeldavad järelemõtlemist, kui see ei saa just vahetult aset leida märkide niisuguse kerge seostamise kaudu, mis on rohkem rutiini kui mõtlemise tagajärg" (Lichtenberg 1801). Filosoofi coupe de grace: "Arvutustel," väidab ta, "on väärtust vaid praktikas, mitte teoorias. Võiks isegi öelda: kus algab arvutamine, seal lõpeb mõistmine." Asjaomased isikud loevad seda imestusega ja mõtlevad, et vaevalt küll oli Schopenhauer heitnud pilku Euleri, Lagrange'i või Gaussi töödesse. Ka matemaatikute geomeetrilised oskused ei leidnud filosoofi silmis armu. Nii nimetas ta Eukleidese "puujalgset, isegi salakavalat" Pythagorase teoreemi tõestust tabavaks näiteks matemaatikute puhul tavapärasest "hiirelõksutõestustest", mis lugeja lihtsalt üle trumpavad, selmet selgitada mõne matemaatilise tõe "tõelist olemuslikku põhjust". (Hildebrandt 2003: 1391-1392)

Ta naeratas ja ulatas mulle viinamarjakobara. Ma ei tahtnud neid. Mul läks neist süda pahaks, sest vana Schopenhauer oli ise neid puudutanud. Nii siis lasin neil libiseda, üsna hellalt, jõevette mu selja taga.

Pöördugem tagasi küsimuse juurde matemaatilise tõdemuse väärtusest, jättes sedakorda kõrvale lihtlabase kasu ühiskonnale. Suure meistri maalil on üldjuhul silmatorkav rahaline väärtus ja see on omaniku jaoks enamasti hea investeering, ometi hindab ning armastab kunstisõber seda siiski muudel põhjustel, kuna tegelik turuväärtus on tema jaoks üsnagi ebaoluline. Milles näeb aga matemaatika sõber selle väärtust? Hardy (1940) kirjutas, et [|] matemaatik on umbes nagu maalikunstnik või poeetki "a maker of patterns", niisiis inimene, kes leiab ja kujundab vorme, ainult et matemaatilised kujundid olevat püsivamad, sest need põhinevad ideedel. Edasi arvab ta, et matemaatilised vormid peaksid olema ilusad, nagu ka maalikunstnike või kirjanike omad; nende ideed peaksid harmooniliselt kokku sobima. (Hildebrandt 2003: 1410-1411)

Midagi, mida võib julgelt üldistada igasugusele vaimutööle.

Milline on ilus matemaatiline uurimisülesanne, ja milline on ilus lahendus? See ei ole defineeritav, nii nagu igasugust ilu saab kirjeldada vaid äärmiselt ebatäiuslikult. Igatahes on parem esitada hea näide, ja nii tahaksin ma ära tuua Pythagorase teoremi tõestuse, mis avaldas mulle sügavat muljet; see pärineb muide üheteistkümneaastaselt õpilaselt Albert Einsteinilt. (Hildebrandt 2003: 1411)

Sugugi ei üllata. Pythagorase teoreemil oli vist mitu tuhat erinevat tõestust.

Mis aga on ilus uurimisülesanne? Hardy kirjutas, et igaüks teab, mis on ilus maleülesanne, ja maleülesanded olevat tõeline [|] matemaatika, ent teatud mõttes "triviaalne" matemaatika, sest neis puudub midagi olulist: maleülesanded olevat tähtsusetud, samas kui parim matemaatika on ühtaegu nii ilus kui tähtis. Et aga sõnal "tähtis" on mitu tähendust, ütleks ta "tähtsa" asemel parem "tõsine", mis ei tähenda, et hea matemaatika peaksolema "praktiliselt kasulik". Matemaatilised ideed peavad pigemini olema "signifikantsed", seega tähelepanuväärsed. Matemaatiline idee on signifikantne siis, kui seda on võimalik loomulikul ja valgustaval viisil seostada teiste matemaatiliste ideede suure kompleksiga. Tõsine matemaatiline teoreem paistvat silma mitmesuguste signifikantsete ideede seotuse poolest ja viivat teatava tõenäosusega välja uute arusaamadeni, edusammudeni matemaatikas endas ja ehk ka teistes teadustes. Ükski maleülesanne, kirjutas Hardy, ei ole kunagi puudutanud teadusliku mõtlemise arengut, küll aga andsid Pythagoras, Newton ja Einstein omal ajal teaduslikule mõtlemisele igaüks täiesti uue suuna. Kes on lugenud K. O. Friedrichsi (1965) õpilastele ja tudengitele kirjutatud raamatukest Pythagorasest Einsteinini, ei pea vääraks tõmmata sirgjoont Einsteini Pythagorase teoreemige tegelemise juurest tema geomeetrilise ruumi-aja-maailmani. (Hildebrandt 2003: 1412-1413)

Sõnad, mis endal selle aruteluga seostuvad on "mõjukas" (influential) ja "tagajärjekas" (consequential). Mõlemad viitavad sellele, et asi ei ole - Iamblichoselt sõnastust laenates - hea iseenesest, ega ainult hea millegi muu jaoks, vaid mõlemat korraga.

Keyserling, Hermann 2003. Filosoofi reisipäevik (katkendeid). Tõlkinud Kairit Kaur. Akadeemia 9: 1806-1818. [Digar, pdf]

Metafüüsik suhestub luuletajasse, nagu too suhestub näitlejasse. Komödiant kujutab, luuletaja loob, metafüüsik haarab mõttes ette kogu võimaliku kujutuse ja loomingu. Nii ei tohi ta üheski vormistuses lahustuda, end mitte ühegagi neist identsena tunda; tema teadvuse kese peab ühte langema maailma omaga, ta peab üksiknähtusi nägema jumala vaatepunktist. Nii eelkõige oma individuaalsust, omaenese filosoofiat. Sellele süvenemisele Raikküla kaasa ei aidanud. Hakkasin sarnaselt nii paljudega uskuma, et maailma kulg on ammendatud mingis kindlas isiklikus valemis, hindama isiklikke ja juhuslikke iseärasusi olmeuse paratamatute atribuutidena. Olin muutumas "isiksuseks". Siis mõistsin, kui targalt olid talitanud Pythagoras ja Platon, kui jätkasid oma rännuelu kuni hilise meheeani välja: nii kaua kui võimalik tuleb paratamatut kristalliseerumisprotsessi takistada; nii kaua kui vähegi võimalik peab Proteus jääma proteuslikuks, sest vaid [|] proteuslikud loomused on kutsutud metafüüsika preestriteks. Nii otsustasin maailma tagasi pöörduda. (Keyserling 2003: 1808-1809)

Keyserlingilt sai eelneval semestril loetud nii mõndagi (vt siia ja siia). Osa sellest katkendist viimases lingitud postituses juba tsiteeritud. Siin ei olegi suurt midagi lisada. Pythagoras teadupoolest jäi Krotonisse paikseks umbes 40-aastaselt. Keyserling oli samuti 38-aastaselt juba maailmareisult naasenud ja oma filosoofilise reisipäeviku avaldanud.

Purasson, Maret 2003. ...Mures on rohkem rõõmu kui pisaraid... Rein Sepa kirjad Vorkutast. Meenutades Reinu. Akadeemia 11: 2325-2386. [Digar, pdf]

Siberi elanikud on jutustanud mulle, et säälse temperatuuri langedes alla kohaliku püsiväärtuse lakkab liiklemine ja elu nii inimeste kui ka loomade juures mõneks päevaks. Pakase püsides on aga poole nädala või ka nädala pärast ühel hommikul kaetud tänavad surnud lindude või ka väikeloomadega: oli see nälg, mis kihundas neid minemaks hingama viimset saatuslikku õhukvantumit? Või oli see viimane meeleheitlik katse restaureeruda, säilida, mil sisim rakk dikteeris oma viimase tahte? Mingit pakase pealetükkivat järjekindlust on me kuupäevades ja arvudeski; jääd mõtlema [kui] kindlana ja kindlustatuna pidi end maailmas tundma Pythagoras [...] on see mu sissejuhatus [...] liialdatud vahest sellepärast, et [...]aala on justkui joon [...]. Külmad ilmad, need teevad rõõmutuks ja uniseks, sest aju on koormatud ainuüksi soojendamise ülesannetega ega jätku tal selliseil päevil jõudu mõtlemistegevuseks. (Sepp 2003: 2352)

Natuke raske paika naelutada, mida täpselt siin öelda tahakse. Vististi seda, et Pythagoras elas Lõuna-Itaalias soojas kliimas ja sai seetõttu soodsamalt mõttetööga tegeleda? Pole kindel. Igal juhul on siin tegu selle sama Rein Sepaga, kelle tõlget Nooremast Eddast saime Euroopa religioosse mõtteloo aines lugeda ja avaldas igasuguste keeleliste iseärasustega sügavat muljet (nt Maailma "valdja", ehk looja). Tolle, ja teiste samas aines loetud tekstide, märkmed jõuavad siia ehk semestri lõpus. Igal juhul, Rein Sepp on selline karakter, keda ja kelle kohta tahaks rohkem lugeda (st Hiljem lugeda).

Kivi, Rainer 2005. Essee Descartes'i Olympica'st. Akadeemia 11: 2456-2485. [Digar]

Rakendus- ehk profaansed teadused (mehaanika, loodusteadused) vastanduvad sakraalsetele (teoloogia, metafüüsika). Rakendusteadused, puudutades kõikide elu, on täidetud mitmesugustest üksteisega mittekoherentsetest otsustustest. Tarkus ja elu rakendusteadustele, argiperspektiivile rajada ei saa. Näib, et idüll ise võis olla pühendatud Pythagorase õpilasele Alkmaionile Krotonist, kelle binaarseid opositsioone tutvustab Aristoteles Metafüüsikas (I.5; 985b23-986b8). Märkimisväärne on seegi, et pütagoorlikku koolkonda on alati käsitletud müstilise liikumisena, kuigi nende õpetuse müstilisus seisnes ainuüksi naturalistlikule mõtlemisele (nagu Aristotelese puhul) arusaamatus arvuprintsiibis: maailmatervik on taandatav arvule ja kõikidel eraldiseisvatel esemetel on arvuline väärtus. See printsiip osutus matemaatika rakendusena füüsikas hiljem igati viljakaks, sest alates 17. sajandist peavad loodusteadused kvantitatiivsust enesestmõistetavaks. (Kivi 2005: 2481)

Selle kohta ei oska suurt midagi kosta. Pika otsimise järel leidsin John Cole'i teose The Olympian dreams and youthful rebellion of René Descartes, kus on sektsioon "A Pythagorean Reflection on the Difficulty of Choosing One's Way of Life" (1992: 157). Alkmaionist on Diogenes Laertiose teoses peatükk - terve 8. raamat käsitleb pütaagorlasi.

Ei saa märkimata jätta, et kartesiaanlikus kontekstis polnud see platonism, nagu eeldab ekslikult Alexandre Koyré (Koyré 1982), vaid just pütagoorlaste arvuprintsiip, mis ärgitas tema taotlusi "ulatuvusliku asja" katmisel. (Kivi 2005: 2481)

No vot see on küll kasulik vihje. Seab ehk E. R. Clay arutluse mõistuse ulatuvusest uude valgusse. Alexandre Koyréga, keda ise olen vaid korra lugenud, on vist kõigil mingi tüli nokkida. Kaudselt on jäänud mulje, et ta oli "punane" mõtteloolane, kes üritas kõike muuta klassisõjaks vms. See artikkel tundub täitsa huvitav. Millalgi tahaks lugeda Rudolf Kulpa tõlget Descartese Arutlus meetodist, pärast mida võiks ka selle tüki kõrvale võtta (Hiljem lugeda).

Decimus Magnus Ausonius 2005. Idüllid. Tõlkinud Ain Kaalep ja Toomas Kiho. Akadeemia 11: 2317-2321. [Digar]

Mis eluteed mul käia on õige - kui jääb üha jalgu
väljakuil inimhulk, kodus äng rõhub hinge ja võõrsil
meel koju ihkab; kui ehk valin kaupmehekutse ma, vaevalt
see tulu toob, ning kui sest loobun, on ees kole vaesus;
maamehe töö on ränk, merd sõites on hukkumishirmud,
poissmehepõlvega nähtud on koos nii mõndagi nuhtlust
ning abikaasalik valvsus ju ka pole põrmugi kerge;
teenides Marsi ei saa verd vältida; liigkasu võtta
on häbiväärne, võlavõtjal on ent ots peal üsna ruttu... (Ausonius 2005: 2317)

Noneh, ongi see sama katkend, mille otsa komistasin Cole'i teoses. Hugh G. Evelyn White'i proosatõlkes: "What path in life shall I pursue? The courts are full of uproar; the home is vexed with cares; home troubles follow us abroad; the merchant always has fresh losses to expect, and the dread of base poverty forbids his rest; the husbandman is worn out with toil; frightful shipwreck lends the sea a grim name; the unwedded life has its sore troubles, but sorer is the futile watch and ward which jealous husbands keep; to serve Mars is a bloody trade; the tarnished gains of interest and swift-mounting usury slaugher the needy..." (1992: 157). Katkendi iva peaks lühidalt olema "Damned if you do, damned if you don't." (samas, 158) - täpsemalt, viitega metempsühhoosile, "Therefore, the summit of Greek wisdom reached in the "Pythagorean" judgment that birth is the greatest misfortune and death is the greatest blessing." (samas) - teps morbiidne.

Kolm kord Puunia sõtta on ustava meelega mindud,
toonud Saguntumis on ent seesama ustavus hukku.
Eks ela, eks pea aus sõbrasuhteid! see oli põhjus,
miks pütagoorlaste tark koolkond sai täiega hukka. (Ausonius 2005: 2318)

Seda tõlgendaks nii, et Pythagorase koolkond hävitati, sest nad pidasid sõbrasuhteid au sees, mis praktikas tähendas, et pütaagorlaste koolkond oli kiivalt sissepoole pööratud ja salatsev ning samas olid nende seast esile tõusnud poliitikud Krotoni avalikus elus kõige edukamad. Sellest johtus siis muu rahva kadedus, mis Kyloni õhutusel viis pütaagorlaste tagakiusamiseni (majade, koos pütaagorlastega nende sees, põlema pistmiseni).

Pütagoorlaste koolkond - Pythagorase Liit, Pythagorase (6. saj. eKr) rajatud ühing, tegeles viljakalt filosoofia, matemaatika jt teadustega. Eluviisis viljelesid muu hulgas varaühisust. Aastast 450 eKr, demokraatide võimuletuleku järel kiusati pütagoorlasi veriselt taga. Liit purustati lõplikult 4. saj. alul eKr. (Kaalep & Kiho 2005: 2319)

"Nimeseletuste" sektsioonis selline lühike kokkuvõte. "Pütaagorlaste liidu" kohta Rudolf Kulpa tõlkes saab siin samas lugeda. Teksti enda kohta võib märkida, et need on Ausoniuse "Idüllid" XV ja XVII. Praegu tundub, et sellesse teksti on rohkem sisse kodeeritud kui praegu olen võimeline lahti muukima, st kahtlemata tuleb millalgi selle juurde naaseda.

Wilczek, Frank 2005. Maailma arvulisest retseptist. Tõlkinud Kalle Hein. Akadeemia 5: 940-947. [Digar]

Kahekümnenda sajandi füüsika sai alguse umbes 600 aastat eKr, kui Samose Pythagoras hakkas kuulutama üht aukartust sisendavat mõtet. Jälgides helisid, mida tõid kuuldavale sõrmitsevad pillikeeled, avastas Pythagoras, et inimese harmooniataju on seotud arvuliste vahekordadega. Ta uuris samast materjalist valmistatud, sama jämedaid ja sama pinge all olevaid, kuid erineva pikkusega pillikeeli. Neil tingimustel, leidis ta, kõlavad noodid täpselt harmooniliselt, kui keelte pikkuse suhet saab väljendada väikeste täisarvudega. Näiteks pikkussuhe 2:1 kõlab muusikalise oktavina, 3:2 muusikalise kvindina ja 4:3 muusikalise kvardina. (Wilczek 2005: 940)

Huvitav hüpe - miks just alles 20. sajandi füüsika? Einsteini tõttu? Tõlke osas on "arvuline vahekord" just see vaste numerical ratio-le, mida mul oleks ennist vaja olnud (omaenese tarkusest panin "arvuline suhtarv").

Sellest avastusest inspireeritud visioon on kokku võetud maksiimis "Kõige aluseks on arvud", millest sai kreedo pütagoorlaste [|] vennaskonnale - nii meestest kui naistest koosnevale ühingule, milles olid segunenud arhailise religioosse kultusorganisatsiooni ja tänapäevase teadusakadeemia elemendid. (Wilczek 2005: 940-941)

"Kõige aluseks on arvud" läheb, just nagu teoreemi sõnastus, nimekirja tõlgetest ütlusele "All is number". "Vennaskond" on eesti keeles tõesti üks tülikas mõiste, eriti kui see on ainus mõistlik vaste inglise keeles sooneutraalsele fellowship-ile. Tänapäevase teadusakadeemia elementide tabamine pütaagorlaste kogukonnas ei pruugi olla juhuslik - võib täitsa olla, et Platoni Akadeemia sai pandud püsti imitatsioonina, või, et teadlased ja mõtlejad (nt Keyserling oma tarkuse-kooliga jne) on kaks ja pool tuhat aastat üritanud saavutada seda, mis Pythagorasel viivuks läks korda - harmooniline õppekeskkond.

Sellelt vennaskonnalt on pärit palju suurepäraseid avastusi, mille nad ise kõik Pythagorasele omistasid. Küllap kõige kuulsam ja põhilisem neist on Pythagorase teoreem, mis on seniajani jäänud sissejuhatava geomeetriakursuse nurgakiviks. Ühtlasi on see Riemanni kõvera ruumi ja Einsteini gravitatsiooniteooria lähtepunktiks. (Wilczek 2005: 941)

Ahah, no vot see on küll minu jaoks uudis. Ülal mainiti, et Einstein lõi 11-aastaselt elegantse tõestuse Pythagorase teoreemile. Võib täitsa olla, et sealt peale hargnes kõik muu.

Õnnetuseks hakkas seesama teoreem vennaskonna kreedot õõnestama. Pythagorase teoreemi kasutades ei ole raske tõestada, et võrdhaarse täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi suhet kummassegi tema luhemasse haara ei saa väljendada täisarvuga. Selle kohutava saladuse paljastanud vennaskonna liige uppus veidi aega hiljem kahtlastel asjaoludel. Kui me tänapäeval ütleme, et π on irratsionaalne, siis peegeldab meie keel endiselt toda muistset ängistust. (Wilczek 2005: 941)

Jutt käib Hippasosest: "The discovery of irrational numbers is said to have been shocking to the Pythagoreans, and Hippasus is supposed to have drowned at sea, apparently as a punishment from the gods for divulging this." (Wikipedia: Hippasus)

Sellele vaatata jäi Pythagorase visioon - avaralt mõistetuna ja vabastatuna kultuslikust või suisa müstilisest ornamentikast - veel sajanditeks matemaatikateaduse pioneeride proovikiviks. Need, kes töötasid selle traditsiooni raames, ei klammerdunud enam täisarvude külge, kuid kinnitasid endiselt, et füüsilise maailma sügavaimat struktuuri saab tabada puhtmõisteliste konstruktsioonide abil. Lihtsat arvulisust lubati täiendada sümmeetria ja abstraktse geomeetriaga seotud mõttekäikudel. (Wilczek 2005: 941)

See müstilis-kultuslikust ornamentikast vabastamine mulle ei istu; see on minu jaoks vahest kõige huvitavam osa. Nii palju kui olen näinud, on see ka suhteliselt tüüpiline - ajaloolise Pythagorase jälile üritatakse jõuda kõike fantastilist välja rookides. Umbes nagu Jefferson tegi Uue Testamendiga.

Tänapäeva üliõpilased õpivad ikka veel Kepleri kolme planeetide liikumise seadust. Kuid enne nende kuulsate seaduste sõnastamist oli see suur spekulatiivne mõtleja välja kuulutanud ühe teise seaduse - me võime seda nimetada Kepleri nullindaks seaduseks -, millest me oleme palju vähem kuulnud sel lihtsal põhjusel, et see on täiesti väär. Ometi oli just selle nullinda seaduse avastamine pannud Kepleri innustuma planetaarsest astronoomiast, eriti Koperniku süsteemist, ja andnud algtõuke tema erakordsele karjäärile. Kepleri nullis seadus käsitleb eri planeetide [|] orbiitide suhtelist suurust. Selle sõnastamiseks peame ette kujutama, et planeedid liiguvad ümber Päikese kontsentrilistel sfääridel. Tema seadus väidab, et järjestikused planeetide sfäärid on selliste mõõtmetega, et need saab joonestada viie platonliku keha sisse ja ümber. Nende viie tähelepanuväärse keha - tetraeedi, kuubi, oktaeedri, dodekaeedri ja ikosaeedri - tahkudeks on omavahel ühitatavad võrdkülgsed hulknurgad. Pütagoorlased uurisid neid, Platon kasutas neid oma Timaiose spekulatiivses kosmoloogias ja Eukleides pani oma Elementidele krooni pähe esimese teadaoleva tõestusega, et on olemas ainult viis sellist regulaarset hulktahukat. (Wilczek 2005: 941-942)

See tuleb jälle ähmaselt tuttavana ette, et järjestikuste planeetide orbiidid peaksid järgima samu arvulisi vahekordi, mida inimene tajub muusikalises harmoonias. Praegu aga ei leia üles, kus täpselt seda kohtasin. Pütagorismi vikiartiklis seda ei ole - on vaid taustalugu, et Pythagorase õpetaka Anaximander oli teadaolevalt esimene, kes üritas välja selgitada planeetida suurusi ja järjestust. Need viis "platonlikku keha" on platoonilised hulktahukad.

Kepler oli oma avastusest vaimustuses. Ta kujutas, et need sfäärid kiirgavad tiireldes muusikat, ning spekuleeris isegi viiside üle. (Siit on pärit väljend "sfääride muusika".) See oli Pythagorase ideaali kaunis teostumine. Puhtmõistelisena ja samas sensuaalselt kütkestavana näis nullis seadus olevat matemaatikatarga Looja vääriline saavutus. (Wilczek 2005: 942)

Eks ta tagantjärgi natuke pentsik ole, aga mitte oluliselt rohkem kui nt Kanti spekuleerimine, millised võiksid Kuu asukad olla.

Pärast seda langes Pythagorase visioon pikaks ajaks sügavasse unustusse. Newtoni klassikalises liikumise ja gravitatsiooni sünteesis ei valitse struktuuri mingiski mõttes arvulised või mõistelised konstruktsioonid. Kõige aluseks on dünaamika. Newtoni seadused informeerivad meid sellest, kuidas liigub tulevikus gravitatsiooniliste kehade süsteem, kui meile on teada nende kehade praeguse hetke asend, kiirus ja mass. Nad ei määra kindlaks Päikesesüsteemi unikaalset suurust ega struktuuri. (Wilczek 2005: 942)

Ma kahtlustan, et midagi sarnast võib kunagi aset leida semiootikas, kui me lõpuks jõuame nii kaugele, et Peirce'ist edasi liikuda. Kuna või kuidas see võiks juhtuda on ettearvamatu, sest praegu ollakse alles Peirce'i-vaimustuse alguses. Mina asetaksin oma panuse sellele, et nt Clay süsteem, milles on rõhk triaadiliste-staatiliste kategooriate asemel üleminekutel nende vahel, st dünaamikal, võib kunagi osutuda edasiviivaks, aga tont teab millal teda tõsiselt hakatakse võtma, kui üldse.

Kepleri idee, et looduses esinevad orbiidid kehastavad täpselt mõistelist ideaali, tõusis pärast kolmesaja-aastast varjusurma Bohri mudeli näol tuhast, sündis uuesti nagu fööniks. Kui üldse saab mingist sarnasusest rääkida, siis Bohri mudel on Pythagorase ideaaliga paremas kooskõlas kui Kepleri oma, sest selle eelistatud orbiidid no defineeritud täisarvude, mitte geomeetriliste konstruktsioonide kaudu. Einstein reageeris suure kaasaelamise ja entusiasmiga, nimetades Bohri tööd "kõrgeimaks musikaalsuse vormiks mõttesfääris". (Wilczek 2005: 943)

Noneh, järjest laieneb see seltskond, keda Wilczek allpool (lk 945) nimetab pütaagorlikeks füüsikuteks.

Lumiste, Ülo 2005. Aegruumi geomeetriast ja selle ajaloost. Akadeemia 2: 332-353. [Digar]

Nagu eespool märgitud, sai geomeetria alguse juba antiikajal, mil uuriti üksnes ruumi ehitust, ajast sõltumatult, ning aeg kaasati alles 20. sajandil. See uurimine hakkas teaduseks kujunema Vana-Kreekas alates 5. sajandist eKr. Kõigepealt panid Thales, Pythagoras, Hippokrates jt aluse planimeetriale; nende originaaltööd on säilinud üksnes fragmentaarselt. Kogu tolleaegne tarkus on talletatud 3. sajandil eKr Eukleidese koostatud Elementidesse, milles on esitatud ka stereomeetria, ning Archimedese töödesse, kus on lahendatud lihtsamate kõverkujundite pind- ja ruumala leidmise probleemid. (Lumiste 2005: 333)

"Planimeetria on elementaargeomeetria haru, milles uuritakse kujundeid tasandil neid ümbritsevat ruumi arvestamata. Kujundeid ruumis uurib stereomeetria." (Vikipeedia) - Selge.

Maaväliselt rakendas geomeetriat esmakordselt Aristarchos, kes 3. sajandil eKr selgitas täisnurksete kolmnurkade abil, et Päike on meist tunduvalt kaugemal kui Kuu, ning sõnastas selle alusel algse heliotsentrismi hüpoteesi. Ta tugines juba pütagoorlastelt pärit arusaamale, et Maa, Kuu ja Päike on kerakujulised. Arvamus, et kõike ümbritseb kinnistähtede sfäär, sai aluseks sfäärilise trigonomeetria algete kujunemisele astronoomiliste vaatluste tõlgendamiseks. (Lumiste 2005: 333)

Meenub tähelepanek, et pütaagorlased ei pidanud neid taevakehi ümarateks mitte vaatluste alusel, vaid selle tõttu, et sfäär on kõige täiuslikum geomeetriline figuur vms.

Lõhmus, Jaak 2005. Matemaatika suurprobleemidest III. Akadeemia 8: 1815-1850. [Digar]

Pütagoorlased arvasid, et maailm on arv. Hiljem on paljud filosoofid arutlenud, mis mõttes nad seda mõistsid või mis mõttes seda mõista tuleks. (Lõhmus 2005: 1835)

Tõepoolest, Dantest Mozartini on neid, kes on pütaagorlikust numeroloogiast mingit inspiratsiooni saanud.

Kõige otsesemalt ja puhtamal kujul, aga ka kõige naiivsemalt võisid pütagoorlased arvata, et arvud on asjad ise. Kui nii, siis peaksid algarvud olema midagi aatomitetaolist, millest teised arvud koosnevad - seda küll vaid korrutamise poolest. Liitmise suhtes võiksid need aatomid suvalised olla. Aga me võime ju öelda, et algarvud on arvude aatomid korrutamise ja jagamise mõttes - algarvud ongi siis just needsamad jagamatud, nagu Demokrituse (460-371 eKr) aatomidki. (Lõhmus 2005: 1835)

See ümberpööramine oleks tõesti päris kena lahendus "all is number" probleemil. Kas see on just see algupärane tõlgendus, ei saa muidugi naljalt kindlaks teha.

Et Pythagoras (569-500 eKr) nägi kogu maailma arvudes ja pidas neid jumaliku harmoonia ilminguteks, siis jõudis ta loomulikule järeldusele, et maailma ja selle harmoonia (seaduste!) tunnetamiseks pole vaja teha muud kui uurida arvude omadusi, tõde arvude kohta. Pole vaja mingeid eksperimente, tuleb vaid süveneda arvude omadustesse, ja teile avaneb kogu tõde maailma kohta! (Lõhmus 2005: 1836)

Selles suhtes oleks küll huvitav teada saada, mille alusel on 2 naiselik ja 3 mehelik. Saab selline sümbolism kuidagi tuleneda arvude endi omadustest?

Pütagoorlastest võib jääda mulje, et nad algarve veel ei tundnudki. Nad leidsid jumalikku harmooniat igas arvus ja mida rohkem see arv jagus, seda rohkem see neile meeldis. Samas aga väidetakse, et paljud Eukleidese (u 365 - u 300 eKr) saavutused on saanud alguse just pütagoorlastest. Siin on jälgede ajamine üsna võimatu, sest pütagoorlastel polnud kombeks oma töid kirja panna; selles järgisid nad vankumatult oma juhti ja õpetajat. (Lõhmus 2005: 1836)

Mitte ainult jagumine, muidugi, nagu näitlikustub 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Eukleidese ja pütaagorlaste seos käib juba mitmendat korda läbi, aga veel pole midagi väga konkreetset näinud.

Vaatame esimese võimaluse näitena kaksikalgarve, mis annavad üsna ootamatu pildi. Niisugused kaksikud esinevad paarikaupa, seistes vahetult enne ja pärast mingit paarisarvu. Väiksemate arvudega näited oleksid (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19)... Mingi valeintuitsioon kipub meile sosistama, et suurte [|] arvude korral niisugust asja ei saa olla. Ent siiski, näiteks arvud (1159142985 × 2²³⁰⁴) ± 1, olles 703 numbrikohaga algarvud, erinevad ainult kahe viimase koha poolest (4337... 17759, 4337... 17761), seega on tegemist kaksikalgarvudega. Neid on kindlasti leitud juba palju suuremaid, siin toodud "rekord" on umbes 20 aastat vana. Usutavasti pole ka neil mingit piiri, kuid tõestatud seda pole. Niisiis jälle üks suurprobleem, kui soovite! (Lõhmus 2005: 1836-1837)

Talletan sellle nimel, et edaspidi jälgida, kas nende paaridega on seotud ka mingid sümboolsed tähendused.

Meil on oma pika retke jooksul olnud mitmeid võimalusi näha matemaatika probleemide tihedat seost füüsikaga. Kui arvestada, et Looduse Raamat on kirjutatud matemaatika keeles (Galilei), siis pole ka midagi imestada. Ja siiski tundub, et matemaatika roll füüsikalises-reaalses maailmas ei piirdu kirjelduse keelega, vaid on tunduvalt sügavam, mida Pythagorase ja Platoni maailmatunnetuse vaimus. (Lõhmus 2005: 1847)

Märksa kompaktsem kui see, mis on pütagorismi Wikipedia-artiklis: "21 sajandit pärast seda kui Pythagoras õpetas oma järgijatele Itaalias, kuulutas Galileo maailmale, et "looduse suurt raamatut" saavad lugeda ainult need kes mõistavad matemaatika keelt."

Mis tahes füüsikaline suurus, ükskõik kui keeruline see oma olemuselt ka on, taandub lõpuks ikkagi arvulisele kirjeldusele ehk lõppkokkuvõttes mõõtväärtustele. Me saame oma teadmised maailmast mõõtmise teel. (Lõhmus 2005: 1847)

Hea teada.

Maailma ülesehitust on ammustest aegadest võrreldud helide muusikalise harmooniaga. Pythagoras nägi niisugust "jumalikku harmooniat" kõikides arvudevahelistes seostes. Johann Kepler (1571-1630) rääkis "sfääride muusikast", mille järgi pidid liikuma planeedid. Terve kvantmaailm on täis võnkumisi ja seega ka muusikat. (Lõhmus 2005: 1850)

Kahju vaid, et "jumalikule harmooniale" (divine harmony) pole antud viidet, kust saaks edasi lugeda. Ühtlasi huvitav märgata, et kosmoloogiliselt skaalalt on sisse zoomitud kvantmaailma. Kõige suurematelt kehadelt kõige väiksematele mõõdetavustele.

Andmaks meeldivat muusikalist kõla, peavad akordid kooskõlalised olema. Arvuteoorias tagab selle Riemanni konjektuur ehk Berry sõnadega: "Kujundlikult öeldes ütleb Riemanni konjektuur seda, et algarvudes on muusikaline kooskõla." (Lõhmus 2005: 1850)

Väga kena.

Rosen, Robert 2006. Churchi-Pythagorase tees. Tõlkinud Kalle Hein. Akadeemia 12: 2728-2752. [Digar]

Ma kinnitan, et matemaatika suundus 6. sajandi paiku eKr hukatuslikult valele teele. Seda vale teed võib kirjeldada kui praeguseni kestvat katset samastada tulemuslikkust arvutatavusega. Tänapäeval seostatakse seda samastamist Alonzo Churchi nimega ja selle kehastuseks on Churchi tees. Kuid Church oli ainult üks viimastest selles pikas rivis, mis ulatub algse süüdlaseni. Ja selleks pole keegi muu kui Pythagoras ise. (Rosen 2006: 2728)

Sellisest sõnastusest jääb mulje, et matemaatika oli õigel teel enne kui kuskilt tihnikust keski Pythagoras välja kargas ja meid eksiteele juhatas.

Algusest peale on matemaatikat ümbritsenud võitmatu objektiivsuse aura. Matemaatilist tõde on enamasti peetud parimaks tõeks - sõltumatuks matemaatikust, sõltumatuks välismaailmast, muutumatuks isegi jumala enda poolt, kättesaamatuks imedele, nii nagu materiaalne maailm kunagi olnud pole. Teadus on seda laadi objektiivsust alati ihanud ja ihaldanud. Ja just seda näib see tees pakkuvat. Kuid see on osutunud ohtlikuks kingituseks. (Rosen 2006: 2729)

Ei eksi. Meenub nt 1950ndatel (vähemalt Nõukogude Liidus) aset võtnud humanitaarteaduste (nt lingvistika) matematiseerumine.

Pythagorase nimi ei seostu enamasti mitte ainult matemaatika ajalooga, vaid ka teatud okultse arvumüstitsismiga, mille põhjendamiseks kasutati puhtmatemaatilisi arutluskäike. Lisaks religioossele küljele on Pythagorase õpetusel kahtlemata ka oma kosmogooniline aspekt. Võrrelgem neid üldlevinud arusaamu W. K. C. Guthrie järgmiste seisukohtadega: [|]

[Pythagorase] isa Mnesarchost Samoselt [...] kirjeldatakse kui gemmide graveerijat, ja oleks igati kooskõlas Kreeka tavadega, kui Pythagorasele oleks õpetatud tema isa kunsti (Guthrie 1962: 173).

4. sajandi pütagoorlaste sõber Aristoxenos kirjutab oma aritmeetikaalases teoses, et Pythagorase arvu-uurimise entusiasm pärines selle praktilisest rakendusest kaubanduses. See ei ole sugugi ebatõenäoline oletus. Rahamajanduse kui suhteliselt hiljutise nähtuse mõju merkantiilse Samose juurdlevale kodanikule võis vabalt seisneda mõtte sisendamises, et üks püsivaid tegureid, mille järgi asju suhestatakse, on kvantitatiivsus. Kindel arvuline väärtus drahmides või miinides võib "esindada" kvalitatiivsetelt omadustelt nii erinevaid asju nagu härjapaar, nisukoorem ja kullast jooginõu (sealsamas, lk 221; minu rõhutus).

Vahest veelgi üllatavam on järgmine lõik:

Pythagoras võis niihästi kujundada kui ka kasutusele võtta unikaalsed vermitud mündid - Krotoni ja selle mõjualuste Lõuna-Itaalia naaberlinnade esimese raha. Need on mündid, mis tekitavad numismaatikutes vaimustust, ühendades endas tähelepanuväärse ja keerulise tehnika silmapaistvalt ilusa kujundusega, ning Seltman väidab, et nende ootamatu ilmumine ilma eelneva arenguprotsessita annab tunnistust Leonardo da Vinci mõõtu geeniusest. [...] Graveerija pojana oli ta ilmselt ka ise praktiseeriv kunstnik ning tema geniaalsuses ei saa mingit kahtlust olla. Nii hakkame nõustuma Empedoklese ütlusega, et ta oli "osav igat laadi peentes töödes" (sealsamas, lk 176).

Need intrigeerivad võimalused heidavad omadussõna "pütagoorlane" taga olevale isiksusele täiesti uut valgust. ühtlasi on huvitav märkida, et umbes kaks tuhat aastat hiljem tegeles ka Isac Newton müntidega. (Rosen 2006: 2729-2730)

Tõepoolest, mingitest müntidest olen midagi vilksamisi lugenud, aga see on küll minu jaoks uus tõlgendus. Üldse ei üllataks, kui Pythagorase edu taga Krotonis oli tegelikult mingi finants-küsimus. Nii palju olen küll mõtisklenud, et äkki aitas juveelide/kalliskivide graveerimise oskus talle kuidagi kaasa.

Pütagoorlik harmooniamõiste oli tubli samm edasi arvude ja kvalitatiivsete omaduste vaheliste seoste väljatöötamisel:

Sõna harmonia [...] tähendas algselt asjade ühendamist või kokkusobitamist, isegi materiaalset kinnituspulka, millega seda tehti [...], [|] seejärel eeskätt pilli keelestamist erineva pingega keeltega (mille all peeti võib-olla silmas lüüra harude ühendamise meetodit [...]) ja niisiis muusikalist heliredelit (Guthrie 1962: 220)

Sellises kontekstis on sõnal harmoonia tugev kavandamise või käsitöö kaastähendus, palju tugevam, kui on sellel sõnal tänapäevases kasutuses. (Rosen 2006: 2730-2731)

Jälle, vau. Midagi tõeliselt uut (minu jaoks). Sõna "harmoonia" algupärasesse tähendusse tuleb küll sisse vaadata. Wiktionary kinnitab, et kreeka harmonía on "joint, union, agreement, concord of sounds". Veel täpsemalt: "Either from or cognate with ἁρμόζω (harmózō, "I fit together"), from Proto-Indo-European *h₂er- ("to join, fit, fix together")". Harmoonial on päris otsene, ehk isegi füüsiline kokkusobitamise (või kokkuliitmise) tähendus.

Seda, mida me saame teha tooni ja helidega, saame kindlasti teha ka muude asjadega. See tõdemus sai hüppelauaks harmooniast kosmosesse, mis võimaldas ülendada muusika puhul kehtiva tõe kogu universumit hõlmavaks tõeks ja arvu, mõõdu ning väärtuse sõnulseletamatu rolli selle manifestatsiooniks. Kõike tervikuks liitva maailmavaatena ilmutab see pütagoorlik kontseptsioon, mis põimib ühte headuse, tõe ja ilu, tajutavate kvaliteetide maailma ja arvumaailma, ikka veel oma suurust. Eriti urgitsevate empiirikute ja väiklaste poleemitsejate maailmas, kelle jõupingutustes me neid omadusi ei näe. (Rosen 2006: 2731)

Jällegi, väga hästi pandud. See on pütagorismi juures vahest huvitavaim omadus, et selles on teatud isoloogia inimese, kosmose ja arvude vahel. Kahjuks artikli ülejäänud märkused Pythagorase kohta matemaatika seisukohalt lendavad kõrgelt üle minu pea. Seal on kahtlemata mingi sügav iva, mille juurde tuleb hiljem vanema ja targemana naaseda (oluliselt Hiljem lugeda). Üks koht tuleb siiski veel välja tuua:

Aristoteles vihjab oma säilinud kirjutistes sageli "pütagoorlastele", ehkki tema spetsiaalselt neile pühendatud raamat on kaotsi läinud. Üldiselt suhtus ta neisse üsna taunivalt; talle tundus, et nad ei mõista korralikult põhjuslikkust (ja ma nõustun temaga). Ta omistas neile õpetuse loomise, mille järgi "asjad on arvud".
Aristoteles ei olnud päris kindel, mida selle õpetusega silmas peeti, ja esitas selle kohta kolm tõlgendust. Esimene, kõige sõnasõnalisem, seisneb selles, et reaalsed asjad tõepoolest koosnevad arvudest umbes samamoodi, nagu atomistide hilisemate väidete järgi asjad koosnevad aatomitest. Teise järgi võtavad asjad oma olemise arvude "jäljendamisest" (mimesis). Ja viimase tõlgenduse järgi on arvu "elemendid", millest arvud ise moodustuvad, ühtlasi kõikide asjade elemendid. (Rosen 2006: 2733)

Kahtlemata selline küsimus, mille kohta saab inglisekeelsetest artiklitest küll ja veel lugeda.

Lahe, Jaan 2006. Kas Siimon Nõid oli gnostik? Akadeemia 5: 1069-1110. [Digar]

Hans Leisegang väidab Lk 1, 35 esineva väljendi "Kõigekõrgema vägi" (kr dynamis hypsistou) põhjal, et Jumala vägi ei tähenda midagi muud kui Jumalast lähtuvat Püha Vaimu. Järelikult pidas Siimon end ise Pühaks Vaimuks ja pakkus sellisena konkurentsi apostlitele, kes omasid samuti Püha Vaimu ja tegid tema kaudu imesid (Leisegang 1985: 83). Nii ütleb Leisegang, et Siimon oli Püha Vaimu inkarnatsioon ja Jumala vägi ise (ibid.). Lisaks sellele näeb Leisegang Siimonis veel erilist prohvetitüüpi - gnostilist prohvetit, kes erineb oluliselt Vana Testamendi prohvetitest: ta ei vaatle ajalugu, ei kuuluta oma visioonide tulemusi, ei jutlusta meeleparandust ega patukahetsust (ibid.). Leisegang ütleb, et Siimoni eelkäijad on pigem vanakreeka prohvetid, imetegijad, ravitsejad ja sügavamõtteliste, maailma algusest ja lõpust rääkivate kirjutiste autorid, nagu Orpheus, Epimenides, legendides Apolloni kehastusena esinev Pythagoras ning Empedokles, kes pidas end samuti jumalaks (Leisegang 1984: 84). Kreeka mõttemaailma mõju gnoosisele on väljaspool kahtlust, kuid Siimoni Nõia puhul hindab Leisegang seda ilmselgelt üle. (Lahe 2006: 1079)

Siinsest valikust esimene, kes teadvustab seda aspekti Pythagorase juures.

Hamming, Richard W. 2007. Matemaatika mõistetamatust tõhususest. Tõlkinud Kalle Hein. Akadeemia 7: 1526-1545. [Digar]

Pythagoras oli esimene mees, kes teadaolevalt väitis selgelt, et "matemaatika on viis mõista universumit". Ta ütles seda niihästi valjusti kui selgesti: "Arv on kõikide asjade mõõt." (Hamming 2007: 1530)

Väga tugeva rõhuga filosoofiliselt kõige lihtsakoelisemale tõlgendusele sellest, mida "All is number" tähendab - kõik on mõõdetav.

Sellise hoiaku teiseks kuulsaks esindajaks oli Kepler. Ta uskus kirglikult, et jumala kätetööd on võimalik mõista ainult matemaatika kaudu. Pärast kakskümmend aastat kestnud tüütuid arvutusi leidis ta oma kolm kuulsat planeetide liikumise seadust - kolm võrdlemisi lihtsat matemaatilist avaldist, mis kirjeldavad näiliselt keerulist planeetide liikumist. (Hamming 2007: 1530)

See "jumala kätetöö" = looduse suur raamat.

See toob meid uuesti Pythagorase juurde, kes olevat esimesena tõestanud, et ruudu diagonaalil ja ruudu küljel ei ole ühist mõõtu - et nende suhe on irratsionaalne. See tähelepanek kutsus kreeka matemaatikas ilmselt esile sügava murrangu. Kuni tolle ajani olid diskreetne arvusüsteem ja pidev geomeetria külg külje kõrval õitsenud ilma eriliste vastuoludeta. Ühismõõdutusekriis kuulutas eukleidilise lähenemisviisi matemaatikale vääraks. On kummaline tõsiasi, et antiikkreeklased püüdsid matemaatikat rangeks muuta sel teel, et asendasid ebakindlad arvud geomeetriaga, mis tundus neile kindlam (tänu Eudoxosele). Eukleidesele oli see tähtis sündmus ja selle tulemusena võime Elementidest leida geomeetria vormi valatuna rohkesti seda, mida me praegu peame arvuteooriaks ja algebraks. (Hamming 2007: 1533)

Sellest loen küll esimest korda. Ongi see Hippasose loo taga?

Ettekujutus, et teoreemid tulenevad postulaatidest, ei vasta lihtsale tähelepanekule. Kui me avastaksime, et Pythagorase teoreem ei tulene postulaatidest, otsiksime taas mingit võimalust postulaate muuta, kuni see tõeseks osutuks. Eukleidese postulaadid tulenesid Pythagorase teoreemist, mitte vastupidi. Ma olen juba üle kolmekümne aasta aeg-ajalt öelnud, et kui te tuleksite minu kabinetti ja näitaksite mulle tõestust, et Cauchy teoreem on väär, siis pakuks see mulle suurt huvi, kuid ma usun, et lõppkokkuvõttes me muudaksime eeldusi, kuni teoreem õigeks osutuks. (Hamming 2007: 1538)

Mida kõike on küll Pythagorase teoreemist tuletatud...

Valisin eespool näite teadlastest meelega varasemast perioodist. Pythagoras oli minu arvates esimene suur füüsik. Just tema avastas, et me elame sellises asjas, millele matemaatikud on andnud nimeks L² - täisnurkse kolmnurga kahe külje ruutude summa moodustab hüpotenuusi ruudu. Nagu eespool öeldud, ei tulene see geomeetria postulaatidest, vaid on ise postulaate kujundanud. (Hamming 2007: 1539)

Teoreemi selge sõnastus.

Ingold, Tim 2008. Kerad ja sfäärid: Keskkonnamõtte topoloogiast. Tõlkinud Silver Rattasepp. Akadeemia 8: 1791-1809. [Digar]

Enne kui pöördun sellest vaatenurgast tulenevate järelduste juurde, tahaksin esile tõsta alternatiivset kujutlust maailmast, mis vähemalt Euroopa mõtlemises on märksa iidsemat päritolu. Selleks on kujutlus sfäärist. Kera ja sfääri tähendusvarjundite erinevusele viitab pisut juba nende akustiline kõla: kera on kõva ja kaashäälikuline, sfäär on pehme ja täishäälikuline. Kera on tahke ja läbipaistmatu, sfäär on õõnes ja läbipaistev. Esimeste astronoomide arvates koosnes muidugi kogu kosmos reast sfääridest, mille ühises keskpunktis seisis inimene ise. Asja mõte oli selles, et inimese tähelepanu liigub aina väljapoole, tungides läbi igast sfäärist, jõudmaks järgmiseni. (Ingold 2008: 1793)

Päike ja Maa on kerad. Maa pöörlemine ümber Päikese, vähemalt enne kui avastati selle liikumise elliptilisus, moodustas kujuteldava sfääri.

Ei ole ka kokkusattumus, et sfääride tajumist kujutleti kuulamisena, mitte vaatamisena. Kuna visuaalne tajumine sõltub valguse peegeldumisest asjade välispinnalt, viitab ta nii nähtu läbipaistmatusele ja inertsusele kui ka nägija väljaspoolsusele. Sfäärid on läbipaistvad, mistõttu neid ei saanud näha, küll aga kuulda, kui nad oma ühise keskme ümber sõltumatult pöörlesid: nii usuti sfääride liikumist tekitavat harmoonilist heli, mida piisavalt tundlik kõrv võis tabada. Sfääride muusika mõiste, mis pärineb Pythagoraselt ning [|] mille hiljem võtsid üle Platon ja Aristoteles, jõudis Boethiuse kirjutiste kaudu keskaega ning sai alates Marsilio Ficino teostest 15. sajandil ka renessansiaegsete ideede lahutamatuks osaks (Hallyn 1993: 232). Tänapäevalgi väidetakse sageli, et auditiivse taju väli on kujult sfäär, mis ümbritseb selle keskel paiknevat kuulajat ilma tema ümber sulgumata. Järelikult sellal, kui me tunneme end olevat nähtava ruumi serval, vaadates silmadega sissepoole, oleme samal ajal alati kuuldava ruumi keskel, kuulates kõrvadega väljastpoolt tulevat (Schafer 1985: 88, 94; vrd Ihde 1976 ja Carpenter, McLuhan 1960). Selle arutluskäigu järgi suhtub kera sfääri nagu nägemine kuulmisesse. (Ingold 2008: 1794-1795)

Meenub Sol.Illaquists of Sound albumi As If We Existed introle "Pledge of Resonance" kellegi norraka tehtud fännivideo, milles sfäärid figureerivad silmatorkavalt.

Ärge saage minust valesti aru. Ma ei ole mingi tänapäeva lapiku Maa pooldaja ega eelkoperniklane. Mul pole mõtteski eitada, et Maa on kerakujuline - seda on teatud, kuigi vahest mitte üldiselt omaks võteud, vähemalt Pythagorase ajast peale - ja et ta on vaid üks paljudest planeetidest, mis tiirlevad üsna tähtsusetu tähe ümber. Minu küsimuseks on, kuidas läks nii, et see kera, meie poolt Maaks kutsutud planeeti, hakati pidama keskkonnaks, või nagu väljenduti minu geoloogiaõpikus, "maailmaks meie ümber". (Ingold 2008: 1797)

Ei tasu siiski ära unustada, et umbes 3. sajandist saadik kuni 15. sajandini kõndisid antipoodid lõunapoolkeral pea alaspidi.

Maimets, Toivo 2008. Millal algab inimese elu? Akadeemia 8: 1671-1693. [Digar]

Antiikses Kreekas olid Pythagoras ja tema õpilased abordivastastena vähemuses. Pütagoorlased uskusid, et inimese hing tekib juba tema viljastumisel, ja niiviisi on see ka fikseeritud Hippokratese vandes, mis keelab otsesõnu anda naisele vahendeid abordi esilekutsumiseks. Hippokratese abordi hukkamõist tulenes tema veendumusest, et just viljastumishetk tähistab inimese teket. (Maimets 2008: 1676)

Huvitav, kust see informatsioon on võetud. Ja kuidas peaks see klappima metempsühhoosiõpetusega?

Diogenes Laertios 2009. Sokratese elu. Tõlkinud Neeme Näripä. Akadeemia 1: 29-58. [Digar]

Kylon oli Krotoni rikkaim kodanik. Tema ja pütagoorlaste vaenu põhjustena toovad antiikautorid kaks lugu, ühe loo järgi ei võtnud Pythagoras Kylonit oma õpilaseks füsiognoomiliste märkide põhjal, teise võimalusena Kylon küll õppis Pythagorase juures, ent löödi sobimatuse tõttu minema. Kylon kogus enda ümber pooldajad ning asus putagoorlaste vastu võitlema. Kord olevat ta süüdanud maja, kus pütagoorlased kogunesid, eluga pääsejaid oli kaks ning need päästsid ka Pythagorase õpetuse. (Honigmann 1922: 2461.) (Diogenes Laertios 2009: 48, joonealune märkus 125)

Iamblichosel oli mäletatavasti teine versioon.

Pythagoras (u 580-500 eKr) oli Samoselt pärit kreeka filosoof, pütagoorlaste koolkonna rajaja. Poliitiliste erimeelsuste tõttu lahkus ta Samoselt, reisis Egiptuses ja Babüloonias ning tegutses pikemalt Lõuna-Itaalias Krotonis. Pütagoorlased tegelesid arvu- ja harmooniateooriaga, nende koolkond kujutas endast pooleldi müstilist sekti, kus pidi järgitama kindlat korda ja dieeti. (Diogenes Laertios 2009: 48)

Standard taks.

Pherekydes Syroselt oli kreeka filosoof, kes elas u 6. sajandil eKr, ta kirjutab müütilis-filosoofilise maailma tekkeloo. Diogenes Laertios ütleb, et Pythagoras oli ta õpilane (Vit. 1.119). (Diogenes Laertios 2009: 49, joonealune märkus 134)

Ülal öeldi, et Pherekydesel oli "omapärane kosmogoonia".

Heisenberg, Werner 2010. Füüsika ja filosoofia II. Tõlkinud Piret Kuusk. Akadeemia 3: 545-575. [Digar]

Hilisemad Kreeka filosoofid võtsid aatomiõpetuse põhimõtted osalt üle, osalt muutsid neid. Nende võrdlemiseks nüüdisaja aatomifüüsikaga on oluline selgitada mateeriaõpetust, mille esitas Platon oma dialoogis Timaios. Platon ei olnud atomist; vastupidi, Diogenes Laertios teatab, et Platon põlgas Demokritose filosoofiat niivõrd, et olevat väljendanud soovi kõik Demokritose raamatud ära põletada. Kuid Platon ühendas atomismiga sarnanevad mõtted Pythagorase kooli õpetusega ja Empedoklese filosoofiaga. (Heisenberg 2010: 554)

St pole päris nii, et Platon võttis Parmenidese "oleva" ja Herakleitose muutlikkuse, viskas nad kokku ja oligi kogu lugu. Platon näib remiksivat kõike, millele küüned külge hakkasid.

Pythagoras (sündis u 570 eKr) - Kreka filosoof, matemaatik, müstik ja loodusteadlane, asutas Lõuna-Itaalias kooli ja religioosse salaühingu. (Heisenberg 2010: 554, joonealune märkus 33)

Veel standardim taks.

Pythagorase koolkond oli tekkinud orfilisest kultusest, mis omakorda oli alguse saanud Dionysose kummardamisest. Siin tekkis kummaline seos religiooni ja matemaatika vahel, mis sellest ajast peale on inimmõtlemisele suurt mõju avaldanud. Tundub, et [|] pütaagorlased olid esimesed, kes mõistsid matemaatiliste formuleeringute loovat jõudu. Nende avastus, et kaks pillikeelt kõlavad harmooniliselt kokku, kui nende pikkused moodustavad lihtsa suhtarvu, näitas neile, kui palju võib loodusnähtustest arusaamisel tähendada matemaatika. Pütaagorlaste arvates ei olnud siin tegu lihtsalt ratsionaalse seletusega. Keelte pikkuste matemaatiline suhe oligi nende meelest harmoonia loojaks. Pütaagorlaste koolkonnas oli ka palju müstikat, millest meil on raske aru saada. Kuid sellega, et nad tegid matemaatika oma religiooni osaks, puudutasid nad üht otsustavat seika inimmõtlemise arengus. Inglise filosoof Bertrand Russell on Pythagorase kohta öelnud: "Ma ei tea ühtegi teist inimest, kes oleks inimmõtlemisele niisugust mõju avaldanud nagu Pythagoras." (Heisenberg 2010: 554-555)

Täpne suhe orfismiga minu jaoks veel ebaselge. Wikipedias Russelli tsitaat antud järgnevalt: "I do not know of any other man who has been as influential as he was in the school of thought."

Platon teadis, et pütaagorlased on avastanud viie korrapärase keha olemasolu, ja ka seda, et neid on võimalik Empedoklese elementidega vastavusse seada. Seetõttu seostas ta nelja elemendi vähimad osakesed platonlike kehadega: maa osakesed on kuubid, õhu osakesed oktaeedrid, tule osakesed tetraeedrid ja vee osakesed ikosaeedrid. Kuid dodekaeedriga ei saanud vastavusse seada ühtegi elementi. Siin ütles Platon vaid: "On veel viies kujund, mida Jumal kasutas universumi kavandamisel." (Heisenberg 2010: 555)

Tuleb tuttav ette - tõenäoliselt Stanfordi filosoofia leheküljelt. See viies kujund tõenäoliselt kvintessents (või siis eeter).

Kuid tänapäeva füüsika ning Platoni ja pütaagorlaste vaatekohtade sarnasus läheb kaugemalegi. [|] Elementaarosake pole Platoni dialoogis Timaios ju lõppude lõpuks mitte aine, vaid matemaatiline kujund. "Kõik asjad on arvud" on lause, mida omistatakse Pythagorasele. Ainukesed matemaatilised kujundid, mida tol ajal tunti, olid seda laadi geomeetrilised või stereomeetrilised kujundid nagu nood korrapärased hulktahukad ja nende tahke moodustavad kolmnurgad. Tänapäeva kvantteooria lubab meil vaevalt kahelda, et elementaarosakesed on lõppude lõpuks samuti matemaatilised kujundid, kuigi hoopis keerulisemat ja abstraktsemat liiki. (Heisenberg 2010: 557-558)

See on siis füüsiku lahendus "All is number" küsimusele: elementaarosakesed on matemaatilised kujundid. Aristotelese kolmest tõlgendusvõimalusest oleks see ilmselt kolmas?

Moodne füüsika sammub niisiis selsamal vaimurajal, millel rändasid juba pütaagorlased ja Platon, ning tundub, et selle tee lõpus võib meid oodata väga lihtne loodusseaduste sõnastus, just nii lihtne, nagu Platon seda lootis. On raske leida mingit head alust sellele lihtsustuslootusele, kui mitte arvestada asjaolu, et seni on füüsika alusvõrrandeid alati õnnestunud esitada matemaatiliselt lihtsal kujul. See asjaolu sobib pütaagorlaste usuga ja paljud füüsikud on sama usku, kuid seni pole veel kellelgi õnnestunud tõeliselt veenvat põhjust leida, miks see nii peaks olema. (Heisenberg 2010: 559)

Alles nüüd märkan, et Piret Kuusk eelistab ka rääkida pütaagorlastest, mitte pütagoorlastest.

von Stuckrad, Kocku 2012. Lääne esoterism: Integreeriva tõlgendusmudeli poole. Tõlkinud Siim Lill. Akadeemia 11: 1936-1973. [Digar]

Järgides termini antiikset kasutustava, viitavad teadlased esoteerilisele sageli kui millelegi enamuse eest varjatule, kui saladusele, millele on ligipääs ainult väikesel rühmal pühitsetutel. Kuid tegelikult pole paljusid neid õpetusi kunagi varjatud ning 20. sajandil omandasid nad populaarsel tasandil isegi laiema kõlapinna, nii et esoterismi iseloomustamine salajase ja elitaarsena on osutunud eksitavaks (vt Faivre 1999a; Bochinger 1994: 374-375). (von Stuckrad 2012: 1943)

Antiikne esoteerika ja tänapäevane esoteerika on kaks ise looma. Ühte said templitest ja koolidest suure vaeva ja katsumusega, teist saad linnaraamatukogu riiulilt psühholoogia ja eneseabi riiulite kõrvalt.

Kõige mõjukama alternatiivse arusaama esoterismist sõnastas prantslasest germanist ja ajaloolane Antoine Faivre. Ta väitis, et nende mõttesuundade ühisnimetaja, või air de famille, mida on nimetatud esoteerilisteks traditsioonideks, on olnud neile eriomane mõtteviis (pr forme de pensée), vaatamata selle mõiste ebamäärasusele (vt kriitikat McCalla 2001: 443-444). Faivre vaatleb "mõtteviisi" teatud erilise maailmatõlgendusviisina. Faivre arendas oma tunnusjooned välja rea varauusaegsete allikate põhjal, mille hulka kuuluvad "okultsed teadused" (astroloogia, alkeemia, maagia), renessansiajal välja kujunenud uusplatooniline ja hermeetiline mõtlemine, kristlik kabala, (peamiselt protestantlik) teosoofia ning prisca theologia (esimese teoloogia) või philosophia perennis'e (igavese filosoofia) mõiste. Vdiimati mainitud vaate järgi on igavene tõde kandunud läbi ajastute edasi erakordsete õpetajate kaudu, kelle hulka kuuluvad teiste seas Zarathustra, Hermes Trismegistos, Orpheus ja Pythagoras. (von Stuckrad 2012: 1943)

See on siis see perennial philosophy ehk "filosoofiline ja spirituaalne perspektiiv, mille kohaselt kõik maailma religioossed traditsioonid jagavad ühte metafüüsilist tõde või päritolu, millest on tärganud kõik esoteerilised ja eksoteerilised teadmised ja õpetused".

Sageli on need hälbelised identiteedid seotud apelleerimisega traditsioonile, mida on peetud institutsionaliseeritud religioonidest kõrgemalseisvaks. Kogu prisca theologia ja philosophia perennis'e temaatika, oma väljapaistvate inimkonna õpetajate reaga, nagu Zarathustra, Pythagoras, Platon jt, mängis võimsat rolli konstrueerimaks identiteete väljaspool judaismi, kristlust ja islami "peavoolu" ilmutusi (vt von Stuckrad 2005; Faivre 1999b). (von Stuckrad 2012: 1961)

Njaa, Jeesuse ülestõusmine pärast kolme päeva on käkitegu Zalmoxise kolme aasta kõrval.

Liiva, Taivo 2014. Kui aatom ei jäta jälgegi. Akadeemia 9: 1669-1699. [Digar]

Tuleb lisada, et aatomitemaailmast leiame selle, mida Pythagoras ja Kepler olid asjatult otsinud planeetide liikumisest. Nad uskusid, et Maa ja teised planeedid liiguvad igaüks oma erilisel orbiidil, mis on talle ainuvõimalik ja määratud mingi Päikesesüsteemi ajaloost sõltumatu ülima printsiibiga. (Liiva 2014: 1679)

Kinnitab seda, et "Bohri mudel on Pythagorase ideaaliga paremas kooskõlas kui Kepleri oma" (Wilczek 2005: 943, ülal).

Paales, Liina 2018. Kas jumal saab aru viipekeelsetest palvetest? Kurtus, vaikus ja viipekeeled kristlikus traditsioonis. Akadeemia 7: 1232-1266. [Digar]

Kuulmisvõimetuse, viipekeelte ja kristluse raames kerkib esile veel üks aspekt - nimelt kõnelemise vältimine kloostrielus. Vaikimise kontseptsiooni kristluses kui kloostri- ehk monastiliste viipekeelte alust on käsitlenud Hollandi uurija Gérard van Rijnberk. Rijnberki andmeil leidub juba kristluse-eelsest ajast viiteid vaikimise austamise kohta. Näiteks Pythagoras nõudis oma õpilastelt absoluutset vaikimist mõne aasta jooksul. Kristluseperioodil lisandusid üldise korra motiividele veel psühholoogilised ja muud taotlused. Vanas ja Uues Testamendis on mitu kirjakohta, mis manitsevad inimest olema sõnadega ettevaatlikud ja talitsema oma kõnet: nt Albi suu on hukatuseks temale enesele ja ta huuled on püüdepaelaks ta hingele (Õp 18:7); Issand, pane valvur mu [|] suu ette, hoidja mu huulte uksele! (Ps 141:3) (Rijnberk 1987: 160. Keele talitsemisele on pühendatud Jaakobuse kirja 3. peatükk. (Paales 2018: 1244-1245)

Vikipeedias täpsustati, et Pythagorase koolkonnaga liitudes pidi mõned esimesed aastad ("akusmaatiku" faasis) vaikima ja õpetusi kuulama, pärast mida võis ("matemaatiku" faasis) täpsustavaid küsimusi küsida. Meeldib, et joonealuses märkuses on viidatud ka Sebeoki ja Umiker-Sebeoki teosele Monastic Sign Languages, mida ise üritasin esmakursuslasena lugeda.

Lahe, Jaan 2019. Kreeka filosoofia lätted. Akadeemia 2: 349-352. [Digar]

Giorgio Colli käsitleb Kreeka filosoofiale eelnenud "tarkust" millegi varjatu, hämara ja vihjelisena ning püüab antiikmütoloogia teatud motiivide ja tegelaste abil avada kreekalikku elutunnetust (või tuleks seda pigem nimetada elutundeks?). Loomulikult ei saa ta seejuures läbi oma suurelt innustajalt Friedrich Nietzschelt (1844-1900) laenatud Dionysose ja Apolloni kujudeta. Kuigi omal ajal šokeeris Briti klassikaline filoloog Jane Ellen Harrison (1850-1928) akadeemilist avalikkust väitega, et kreeklaste usundis oli oluline koht irratsionaalsusel ja metsikul bakhantlikul ekstaasil, mida seni oli peetud tolles usundis pigem perifeerseks ja erandlikuks (see ei sobinud lihtsalt kokku Georg Wilhelm Friedrich Hegeli (1770-1831) kaudu juurdunud arusaamaga kreeklaste usundist kui "ilu religioonist"), siis tänapäevaks on saanud selline vaateviis eeskätt tänu kahe klassikalise filoloogi, ungarlase Karl Kerényi (1897-1973) ja juba nimetatud šveitslase Walter Burkerti töödele üldtunnustatuks. Dionysose kultuse puhul võib orfismi vahendusel kaaluda koguni võimalikku otsest mõju Kreeka filosoofiale, täpsemalt pütaagorlastele ja Platonil (427-347 eKr). Aga Colli näib langevat võrreldes Harrisoni kaasaegsetega teise äärmusesse ja rõhutavat liigselt irratsionaalset elementi Kreeka mõtlemises ning varases Kreeka filosoofias (ehk tema terminiga tähustatuna, "tarkuses"). Kuigi käesolevate ridade autor on veendunud, et näiteks Joonia loodusfilosoofide Thalese, Anaximandrose (u 610 - u 546 eKr) ja Anaximenese (u 585 - u 528 eKr) fragmentides on mütoloogilise mõtlemise mõju veel selgelt hoomatav (kuigi on uurijaid, kes väidavad, et juba nimetatud kolm filosoofi esindavad mütoloogilisest mõtlemisest kvalitatiivselt erinevat mõtteviisi), ja Walter Burkert on näidanud ka nende puhul veenvalt Vana-Ida mütoloogia mõjusid, ei saa eitada, et lisaks müütilisele algele on nende mõtlemises olemas juba tugev tendents ratsionaalsele maailmaseletamisele. (Lahe 2019: 351)

Midagi sellist on siit ka juba läbi käinud: "Kreeka mõttemailma põhiliseks eripäraks võib pidada rangelt loogilise, deduktiivse (n-ö teadusliku) mõtlemise väljakujunemist ja selle edaspidist lahutamatut seost filosoofilise spekulatsiooniga" (Kõiv 1990: 547, ülal). Tuleb välja, et ka Lahe jaoks on pigem "pütaagorlased" kui "pütagoorlased".

Kuigi filosoofia kui kirjandusžanri tekkimine (Platoni dialoogid) kujutab endast kahtlemata suurt murrangut Kreeka kultuuriloos, on käesolevate ridade autor vastupidiselt Giorgio Collile seisukohal, et irratsionaalne alge (nimetagem seda mythos'eks) ja ratsionaalne alge (nimetagem seda logos'eks) on Kreeka filosoofias eksisteerinud üksteise kõrval või pigem üksteisega läbipõimunult läbi kogu Kreeka filosoofia ajaloo. Selle heaks näiteks on: Pythagoras (u 580-500 eKr), kes juhtis tähelepanu kvantitatiivsetele suhetele füüsikalises maailmas, kuid andis samal ajal teoreetilise põhjenduse arvumüstikale, Platon, kes töötas täpselt määratud mõistetega, ent uskus samal ajal, et maailm on hiiglaslik kerakujuline olusolend, ja lõi ka värvikaid müüte, ning ka antiikaja viimane mõjukas koolkond - uusplatoonikud -, kes õpetasid hinge jumalikku päritolu ja taotlesid müstilist ekstaasi. Mythos ei ole seega lakanud Kreeka filosoofias iial olemast, kuigi mõnede filosoofide [|] puhul, nagu Epikuros (u 342-271 eKr), ei mänginud see suurt rolli. Ent mythos'e ja logos'e vahekorda Kreeka filosoofias ei saa kindlasti määratleda ajalisel teljel, nagu teeb seda Colli, kelle arvates aja jooksul tugevnes just viimane esimesega võrreldes. (Lahe 2019: 351-352)

Igati tervemõistuslik analüüs. Ratsionaalse ja irratsionaalse alge "harmoonia" tundub tõenäolisem kui rangelt ühele või teisele poole jaotumine.

Dawkins, Richard 2021. Religiooniteadus. Teadusreligioon. Kaks loengut. Tõlkinud Tanel Toobik. Akadeemia 1: 3-48. [Digar]

"Mis on bumerangi otstarve?" nõuab hoopis teistsugust vastust ja lähtumist valmistaja või kasutaja tahtlikest kavatsustest. Et tahtlik otstarve on inimteadvuses nii silmapaistvalt esiplaanil, peab osa inimesi ahvatlevaks loodusmaailma kreatsionistlikku seletust. Ma kahtlustan, et see võib ühtlasi seletada, miks meil tuli 19. sajandini oodata Darwinit, kes lahendaks probleemi, mis tagantjärgi vaadates tundub lihtsam kui need rasked probleemid, mille kaks sajandit varem lahendasid Newton ja Galilei ning kaks tuhat aastat varem Archimedes ja Pythagoras. (Dawkins 2021: 33)

Lihtsad luulud on meeldivamad kui keeruline ebamäärasus. Njah, ongi kogu moos. 33 aastakäiku Akadeemia ajakirja on Pythagorast maininud 34-s artiklis.